AllPhysics.ru

ПРЕДЕЛЬНЫЙ ЦИКЛ, замкнутая изолированная траектория в фазовом пространстве динамич. системы, изображающая периодич. движение. В окрестности П. ц. фазовые траектории либо удаляются от него (неустойчивый П. ц.), либо неограниченно приближаются к нему — «наматываются» на него (устойчивый П. ц.). Устойчивый П. ц. явл. матем. образом периодич. автоколебаний. Напр., уравнение Ван дер Поля (описывающее, в частности, динамику лампового генератора):

d²x/dt²-ξ(1-x²)dx/dt+х=0 имеет при значении параметра нелинейности ξ>0 единственный устойчивый П. ц. (рис.). Для систем с одной степенью свободы (их фазовое пространство — плоскость) устойчивыми П. ц. и устойчивыми состояниями равновесия исчерпываются все возможные объекты, к-рые притягивают соседние траектории на фазовой плоскости.

Фазовые портреты генератора Ван дер Поля при разл. значениях нелинейности: а — квазигармонич. колебания; б — сильно несинусоидальные; в — релаксационные (ξ=10).

В многомерных динамич. системах с размерностью фазового пространства n³3 возможны более сложные притягивающие объекты.

• Андронов А. А., В и т т А. А., X а й к и н С. Э., Теория колебаний, 2 изд., М., 1959; Баутин Н. Н., Л е о н т о в и ч Е. А., Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости, М., 1976; Рабинович М. И., Стохастические автоколебания и турбулентность, «УФН», 1978, т. 125, в. 1, с. 123.

М. И. Рабинович.