AllPhysics.ru

      Уравнение Шредингера учитывает свойства симметрии пространства и времени. Поэтому из основного уравнения квантовой механики могут быть получены такие общие законы, как закон сохранения массы, закон сохранения заряда и другие законы сохранения.

      Чтобы показать это, выделим в пространстве некоторый объем , ограниченный замкнутой поверхностью . В квантовом состоянии с заданной волновой функцией вероятность нахождения частицы в рассматриваемом объеме определяется как

     

      Если эта вероятность изменяется со временем, то следует предположить наличие потока вероятности П через поверхность , который и приводит к изменению вероятности :

     

      Считая поток вероятности П распределенным по всей поверхности , введем вектор плотности потока вероятности , определив его интегральным соотношением

     

     Здесь , где - единичный вектор внешней нормали. Знак минус в правой части (3.13) соответствует естественному предположению о росте вероятности при поступлении в объем извне потока вероятности и убывании при изменении направления вектора на поверхности .

      Из (3.12) и (3.13) получаем для скорости изменения вероятности интегральное соотношение

     

     С помощью теоремы Остроградского

     

     соотношение (3.14) преобразуется к виду

     

     из которого в силу произвольности объема следует уравнение непрерывности для поля вероятности в дифференциальной форме

     

     Первое слагаемое в (3.16) можно представить в виде

     

      Так как волновая функция является решением уравнения Шредингера

     

     то комплексно сопряженная функция удовлетворяет уравнению

     

     После умножения (3.18) на , а (3.19) на вычтем из первого соотношения втрое. Тогда получим, что

     

     Подставив (3.20) в правую часть формулы (3.17), имеем

     

     Теперь, используя известные формулы векторного анализа, запишем два следующих равенства:

     

     и

     

      Отсюда получаем соотношение

     

     с помощью которого преобразуем (3.21) к виду

     

      Сравнив (3.22) с (3.16), получаем выражение для плотности потока вероятности

     

     Учитывая, что , запишем (3.23) в более компактной форме

     

      Отметим, что в задачах квантовой механики с ненулевым значением плотности потока вероятности можно считать, что рассматриваемая частица движется в потоке таких же частиц, которые независимо друг от друга взаимодействуют с силовым полем. В такой интерпретации задачи следует считать, что модуль вектора характеризует число частиц, пересекающих единичную поверхность, перпендикулярную направления вектора , за единицу времени.

      В этом случае соотношения (3.14) и (3.16) можно рассматривать как законы сохранения числа частиц, записанные в интегральной и дифференциальной формах.

      Если уравнение (3.16) умножить на массу частицы , то величины и приобретают смысл плотности и потока массы вещества, движущегося в пространстве, а само уравнение (3.16) переходит в известное в механике сплошных сред уравнение непрерывности

     

      Аналогично, если движущиеся частицы несут заряд , то и можно трактовать как объемную плотность заряда и плотность электрического тока. Тогда, после умножения на (3.16) преобразуется в известный в электродинамике закон сохранения заряда в дифференциальной форме

     

      Задача 3.3. Рассчитайте плотность потока вероятности в задаче о свободно движущейся частице, квантовое состояние которой описывается плоской волной де Бройля

     

      Решение: Записав комплексно сопряженную волновую функцию

     

      находим отличные от нуля компоненты градиентов

     

     

     

     Теперь по формуле (3.23) определим -ую составляющую вектора плотности потока вероятности

     

     Здесь - волновое число.

      Таким образом, для движущейся свободной частицы плотность потока вероятности пропорциональна квадрату амплитуды волны де Бройля. Отсюда следует, что волновую функцию свободной частицы можно нормировать, полагая . В этом случае амплитуда волны де Бройля

     

     где - импульс, а - скорость движущейся частицы.