Центр масс и система центра масс

В любой системе частиц имеется одна замечательная точка С- центр инерции, или центр масс, - которая обладает рядом интересных и важных свойств. Центр масс является точкой приложения вектора импульса системы

, так как вектор любого импульса является полярным вектором. Положение точки С относительно начала О данной системы отсчета характеризуется радиусом-вектором, определяемым следующей формулой:

(4.8)

где

- масса и радиус-вектор каждой частицы системы, M - масса всей

системы (рис. 4.3).

Рис. 4.3.
Определение центра масс системы частиц

Следует заметить, что центр масс системы совпадает с ее центром тяжести. Правда, это утверждение справедливо лишь в том случае, когда поле сил тяжести в пределах данной системы можно считать однородным.

Найдем скорость центра масс в данной системе отсчета. Продифференцировав (4.8) по времени, получим

(4.9)

Если скорость центра инерции равна нулю, то говорят, что система как целое покоится. Это вполне естественное обобщение понятия покоя отдельной частицы. Скорость же

приобретает смысл скорости движения системы как целого.

Из формулы (4.9) с учетом (4.3) следует, что

(4.10)

т.е. импульс системы равен произведению массы системы на скорость ее центра масс.

Получим уравнение движения центра масс. Понятие центра масс позволяет придать уравнению (4.4) иную форму, которая часто оказывается более удобной. Для этого достаточно (4.10) подставить в (4.4), и учесть, что масса системы как таковой есть величина постоянная. Тогда получим

(4.11)

где

- результирующая всех внешних сил, действующих на систему. Это и есть уравнение движения центра масс системы - одно из важнейших уравнений механики. В соответствии с этим уравнением, при движении любой системы частиц ее центр инерции движется так, как если бы вся масса системы была сосредоточена в этой точке и к ней были бы приложены все внешние силы, действующие на систему. При этом ускорение центра инерции совершенно не зависит от точек приложения внешних сил.

Далее, из уравнения (4.11) следует, что если

то

а значит,

. В инерциальной системе отсчета такой случай реализуется для замкнутой системы. Кроме того, если

, то, согласно (4.10); и импульс системы

Таким образом, если центр масс системы движется равномерно и прямолинейно, то это означает, что ее импульс сохраняется в процессе движения. Разумеется, справедливо и обратное утверждение.

Уравнение (4.11). по форме совпадает с основным уравнением динамики материальной точки и является его естественным обобщением на систему частиц: ускорение системы как целого пропорционально результирующей всех внешних сил и обратно пропорционально суммарной массе системы. Напомним, что в неинерциальных системах отсчета результирующая всех внешних сил включает в себя как силы взаимодействия с окружающими телами, так и силы инерции.

Рассмотрим ряд примеров на движение центра масс системы.

Пример 1. Покажем, как можно решить задачу с человеком на плоту (стр. 90 )другим способом, воспользовавшись понятием центра масс.

Так как сопротивление воды пренебрежимо мало, то результирующая всех внешних сил, действующих на систему человек - плот, равна нулю. А это значит, что положение центра инерции данной системы в процессе движения человека (и плота) меняться не будет, т. е.

где

- радиус-векторы, характеризующие положения центров масс человека и плота относительно некоторой точки берега. Из этого равенства найдем связь между приращениями векторов

Имея в виду, что приращения

и представляют собой перемещения человека и плота относительно берега, найдем перемещение плота:

Пример 2. Человек прыгает с вышки в воду. Движение прыгуна в общем случае имеет весьма сложный характер. Однако если сопротивление воздуха пренебрежимо мало, то можно сразу утверждать, что центр инерции прыгуна движется по параболе, как материальная точка, на которую действует постоянная сила

где

масса человека.

Пример 3. Замкнутая цепочка, соединенная нитью с концом оси центробежной машины, равномерно вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью

(рис. 4.4). При этом нить образует угол

Рис. 4.4.
Вращение цепочки вокруг вертикальной оси

вертикалью. Как ведет себя центр инерции цепочки?

Прежде всего, ясно, что при равномерном вращении центр инерции цепочки не движется в вертикальном направлении. Это значит, что вертикальная составляющая силы Т натяжения нити компенсирует силу тяжести (рис. 4.4, справа). Горизонтальная же составляющая силы натяжения постоянна по модулю и все время направлена к оси вращения.

Отсюда следует, что центр масс цепочки - точка С - движется по горизонтальной окружности, радиус которой

легко найти с помощью формулы (4.11), записав ее в виде

где

- масса цепочки. При этом точка С все время находится между осью вращения и нитью, как показано на рис. 4.4.

В тех часто встречающихся случаях, когда нас интересует лишь относительное движение частиц внутри системы, а не движение этой системы как целого, наиболее целесообразно пользоваться системой отсчета, в которой центр масс покоится. Это позволяет значительно упростить и анализ явления и расчеты.

Систему отсчета, жестко связанную с центром масс данной системы частиц и перемещающуюся поступательно по отношению к инерциальным системам, называют системой центра масс или, кратко, С-системой (обозначение системы связано с первой буквой слова центр по латыни). Отличительной особенностью этой системы является то, что полный импульс системы частиц в ней равен нулю - это непосредственно следует из формулы (4.10). Другими словами, любая система частиц как целое покоится в своей -С-системе.

Для замкнутой системы частиц ее С-система является инерциальной, для незамкнутой - в общем случае неинерциальной.

Найдем связь между значениями механической энергии системы в K и С системах отсчета. Начнем с кинетической энергии системы

. Скорость

частицы

в K-системе можно представить в виде суммы скоростей,

где

- скорость этой частицы в С-системе и скорость системы центра масс относительно K-системы отсчета соответственно. Тогда можно записать:

Так как в С-системе среднее слагаемое в последней сумме равно 0, то предыдущее выражение примет вид

(4.12)

где

- суммарная кинетическая энергия частиц в С-системе, масса всей системы обозначена

- ее полный импульс в K-системе отсчета.

Таким образом, кинетическая энергия системы частиц складывается из суммарной кинетической энергии

в С-системе и кинетической энергии, связанной с движением системы частиц как целого. Это важный вывод, который неоднократно будет использоваться в дальнейшем изложении.

Из формулы (4.12) следует, что кинетическая энергия системы частиц минимальна в С-системе - в этом еще одна особенность С-системы. Действительно, в С-системе импульс системы равен 0 и поэтому в (4.12) остается только

Теперь перейдем к полной механической энергии Е. Так как собственная потенциальная энергия системы U зависит только от конфигурации системы, т.е. относительного взаимного расположения частей, то значение U одинаково во всех системах отсчета в соответствии с принципом относительности Галилея. Добавив U в левую и правую части равенства (4.12), получим формулу преобразования полной механической энергии при переходе от К к С-системе:

(4.13)

Энергию

, равную сумме потенциальной энергии и кинетической энергии системы в С-системе называют внутренней механической энергией системы.

Пример. На гладкой горизонтальной плоскости лежат две небольшие шайбы, каждая массы

, которые соединены между собой невесомой пружинкой. Одной из шайб сообщили начальную скорость

как показано на рис. 4.5. Какова внутренняя механическая энергия

этой системы в процессе движения?

Поскольку плоскость гладкая, система в процессе движения будет вести себя как замкнутая. Поэтому ее полная механическая энергия

Рис. 4.5.
Пример на внутреннюю механическую энергию системы

суммарный импульс

будут сохраняться, оставаясь равными тем значениям, которые они имели в начальный момент, т. е.

. Подставив эти значения в формулу (4.13), получим

Нетрудно сообразить, что внутренняя энергия

связана с вращением и колебанием данной системы, причем в начальный момент

была равна только энергии вращательного движения.

Если система частиц замкнута и в ней происходят процессы, связанные с изменением полной механической энергии, то из (4.13) следует, что

, т. е. приращение полной механической энергии относительно произвольной инерциальной системы отсчета равно приращению внутренней механической энергии. При этом кинетическая энергия, обусловленная движением системы частиц как целого, не меняется, ибо для замкнутой системы полный импульс системы сохраняется

В частности, если замкнутая система консервативна, то ее полная механическая энергия сохраняется во всех инерциальных системах отсчета. Этот вывод находится в полном соответствии с принципом относительности Галилея.

Рассмотрим простейшую систему из двух частиц. Пусть их массы равны