AllPhysics.ru

     Переход к другой системе отсчета рассматривается пока в рамках ньютоновой механики. Поэтому длины отрезков координат и интервалы времени считаются абсолютными, т.е. любой масштаб одинаков в разных системах отсчета и не зависит от скорости движения. Это же относится и к течению времени, которое одинаково во всех системах.

     Рассмотрим две произвольные системы отсчета (К и К'), движущиеся заданным образом относительно друг друга. Известны скорость и ускорение некоторой частицы А в К-системе. Необходимо определить значения и этой точки в -системе. Рассмотрим три наиболее важных случая движения одной системы отсчета относительно другой.

     Наиболее простым случаем является поступательное относительное движение систем. Пусть в К-системе начало отсчета -системы определяется радиус-вектором , а ее скорость и ускорение - векторами и . Если положение частицы А в К-системе определяется радиусом-, а в - системе - радиус-вектором , то ясно, что (рис. 2.13).

Рис. 2.13. Поступательное относительное движение

     За интервал времени точка А совершит в К-системе малое перемещение . Это перемещение складывается из перемещения вместе с -системой и перемещения относительно -системы, т. е. . После деления на , получим формулу преобразования скорости:

     

     После дифференцирования (2.21) по времени найдем формулу преобразования ускорения:

     

     Отсюда видно, что при , т. е. при движении -системы без ускорения, относительно К-системы ускорения частицы А в обеих системах отсчета будут одинаковы.

     Следующий по сложности случай - вращение с постоянной угловой скоростью вокруг неподвижной оси. Выберем начала отсчета обеих систем в произвольной точке О на оси вращения (рис. 2.14, а).

     Тогда радиус-вектор частицы А в обеих системах отсчета будет один и тот же:. Если точка А неподвижна в К'-системе, то ее перемещение в К-системе за время вызвано только поворотом радиус-вектора на угол вместе с К'-системой и равно, согласно (2.11), векторному произведению .

     Если же точка А движется относительно К'-системы со скоростью , то за

Рис. 2.14a. Равномерное вращение вокруг неподвижной оси

     интервал времени dt она дополнительно переместится на dt (рис. 2.14, а) и тогда

     

     После деления на , получим формулу преобразования скорости:

     

     где и - скорости частицы А в соответствующих системах отсчета.

     Теперь определим связь ускорений. В соответствии с (2.24) приращение вектора за интервал времени в К-системе должно складываться из суммы приращений векторов и , т. е.

     

     Определим . Так как точка А движется в К'-системе с постоянной скоростью , то приращение вектора в К-системе вызвано только его поворотом на угол вместе с системой отсчета К. Оно равно, как и в случае , векторному произведению . В этом легко убедиться, если совместить начало вектора с осью вращения (рис.2.14, б). В случае, если точка А имеет ускорение в К'-системе, то за время вектор получит дополнительное приращение и тогда приращение скорости имеет вид

      =

     Подставим (2.26) и (2.23) в равенство (2.25) и полученное выражение разделим на . В итоге получим формулу преобразования ускорения:

      =

     где и - ускорения частицы А в К- и К'-системах отсчета.

Рис. 2.14b. Связь ускорений при вращательном движении

     Среднее слагаемое в правой части формулы (2.27) называется название кориолисово (или поворотное) ускорения а последнее слагаемое -осестремшпельное ускорения :

     

     Таким образом, ускорение частицы относительно К-системы paвно сумме трех ускорений: ускорения относительно К'-системы, кориолисова ускорения и осестремительного ускорения . Осестремительное ускорение не следует путать с нормальным (центростремительным) ускорением, направленным по нормали к касательной к траектории частицы. Ускорение можно представить в виде , где - радиус-вектор, перпендикулярный оси вращения и определяющий положение частицы А относительно этой оси. Тогда формулу (2.27) можно представить в виде:

     

     Рассмотрим случай, когда К'-система вращается с постоянной угловой скоростью вокруг оси, перемещающейся поступательно со скоростью ₀ u ускорением no отношению к К-системе. В этом случае объединены два предыдущих. Рассмотрим вспомогательную К'-систему отсчета, которая жестко связана с осью вращения К'-системы и перемещается поступательно в К-системе. Пусть и - скорости частицы А в К- и К''-системах отсчета, тогда из равенства (2.21) получим . Скорость в соответствии с (2.24)можно представить выражением , где - радиус-вектор частицы А относительно произвольной точки на оси вращения К'-системы. Тогда получим такую формулу преобразования скорости:

     

     Используя соотношения (2.22) и (2.29), найдем формулу преобразования ускорения:

     

     В формулах (2.30) и (2.31), и , - скорости и ускорения частицы А в К- и К'-системах отсчета, и - скорость и ускорение оси вращения К'-системы в К-системе, -радиус-вектор частицы А относительно произвольной точки на оси вращения К'-системы, - радиус-вектор, перпендикулярный оси вращения и характеризующий положение частицы А относительно этой оси. В самом общем случае, когда угловая скорость переменна, в правой части формулы (2.31) будет еще одно слагаемое вида - , где - угловое ускорение К'-системы, - радиус-вектор, характеризующий положение той точки на оси вращения, которая принята за начало отсчета в К'-системе:

     

     Для иллюстрации полученных формул рассмотрим следующий пример. Пусть жесткий диск вращается с постоянной угловой скоростью вокруг оси, укрепленной на столе. По диску движется точка А с постоянной относительно стола скоростью . Определим скорость и ускорение частицы А относительно диска в момент, когда радиус-вектор, характеризующий ее положение по отношению к оси вращения, равен . Скорость v' частицы А, согласно (2.24), равна . Ускорение найдем с помощью равенства (2.29), учитывая, что в , так как . Тогда . Подставляя в эту формулу выражения для получим.