Свойства тензоров и момент импульса частицы

Для того, чтобы аналогично ньютоновой механике рассмотреть закон сохранения момента импульса, необходимо ввести некоторые математические сведения, развивающие и обобщающие понятие 4-вектора.

Совокупность координат события

можно рассматривать как компоненты четырехмерного радиус-вектора (или, как мы будем говорить для краткости, 4-радиус-вектора) в четырехмерном пространстве. Его компоненты мы будем обозначать через

, где индекс i пробегает значения 0, 1, 2, 3, причем

Квадрат "длины" 4-радиус-вектора дается выражением

Он не меняется при любых поворотах четырехмерной системы координат, которыми являются, в частности, преобразования Лоренца.

Вообще четырехмерным вектором (4-вектором)

называется совокупность четырех величин

которые при преобразованиях четырехмерной системы координат преобразуются как компоненты 4-радиус-вектора

. При преобразовании Лоренца

(8.21)

Квадрат величины всякого 4-вектора определяется аналогично квадрату 4 радиус-вектора:

Для удобства записи подобных выражений вводят два "сорта" компонент 4-векторов, обозначая их буквами

, с индексами сверху и снизу. При этом

(8.22)

Величины Аⁱ называют контравариантными. а А_j-ковариантными компонентами 4-вектора. Квадрат 4-вектора представится тогда в виде

Такие суммы принято записывать просто как

, опуская знак суммирования. Вообще принимается правило, согласно которому по всякому индексу, повторяющемуся в данном выражении дважды, подразумевается суммирование, а знак суммы опускается. При этом в каждой паре одинаковых индексов один должен стоять наверху, а другой внизу. Такой способ обозначения суммирования по, как говорят, немым индексам, очень удобен и значительно упрощает запись формул.

В этом разделе мы будем обозначать четырехмерные индексы, пробегающие значения 0, 1, 2, 3, латинскими буквами i, k, l,...

Аналогично квадрату 4-вектора составляется скалярное произведение двух разных 4-векторов:

При этом, очевидно, его можно записать как в виде

, так и в виде

, - результат от этого не меняется. Вообще во всякой паре немых индексов всегда можно переставлять верхний и нижний индексы.

Произведение

является 4-скаляром - оно инвариантно по отношению к поворотам четырехмерной системы координат. Это обстоятельство легко проверить непосредственно, но при этом надо помнить, что закон преобразования 4-вектора, выраженный через ковариантные компоненты, отличается (в знаках) от того же закона, выраженного в контравариантных компонентах. Так вместо (8.21) будем, очевидно, иметь выражение, где знак V изменен на противоположный.

Компоненту 4-вектора

называют временной, а компоненты

- пространственными (по аналогии с 4-радиус-вектором). Квадрат 4-вектора может быть положительным, отрицательным или равным нулю; в этих трех случаях говорят соответственноо времениподобных, пространственноподобных и нулевых 4-векторах, как это приняв названиях интервалов. Нулевые 4-векторы называют также изотропными.

По отношению к чисто пространственным поторотам (т.е. преобразованиям, не затрагивающим оси времени) три пространственные компоненты 4-вектора

составляют трехмерный вектор

. Временная же компонента 4-вектора представляет собой (по отношению к тем же преобразованиям) скаляр. Перечисляя компоненты 4-вектора, мы часто будем записывать их как

При этом ковариантные компоненты того же 4-вектора:

, а квадрат 4-вектора:

. Так, для 4-радиус-вектора:

У трехмерных векторов (в координатах х, у, z) контра- и ковариантные компоненты не различаются. Везде (где это не сможет привести к недоразумениям) мы будем писать их компоненты

с индексами внизу, обозначая эти индексы греческими буквами. В частности, по дважды повторяющимся греческим индексам будет подразумеваться суммирование по трем значениям х, у,z (например,

Четырехмерным тензором (4-тензором) 2-го ранга называется совокупность 16 величин

, которые при преобразовании координат преобразуются как произведения компонент двух 4-векторов. Аналогичным образом определяются и 4-тензоры высших рангов.

Компоненты 4-тензора 2-го ранга могут быть представлены в 3 видах: как контравариантные

, ковариантные

и смешанные

(в последнем случае надо, вообще говоря, различать

, т. е. следить за тем, какой именно - первый или второй - индекс стоит вверху, а какой внизу). Связь между различными видами компонент определяется по общему правилу: поднятие или опускание временного индекса (0) не меняет, а поднятие или опускание пространственного индекса (1, 2, 3) меняет знак компоненты.

По отношению к чисто пространственным преобразованиям девять компонент

составляют трехмерный тензор. Три компоненты

и три компоненты

составляют трехмерные векторы, а компонента

является трехмерным скаляром.

Тензор

называется симметричным, если при перестановке индексов знак компоненты не изменяется, и антисимметричным, если

. У антисимметричного тензора все диагональные компоненты равны нулю так как, например, должно быть

. У симметричного тензора

смешанные компоненты

очевидно, совпадают.

Во всяком тензорном равенстве выражения с обеих его сторон должны содержать одинаковые и одинаково расположенные (вверху или внизу) свободные, т. е. не немые, индексы. Свободные индексы в тензорных равенствах можно перемещать (вверх или вниз), но обязательно одновременно во всех членах уравнения. Приравнивание же контра- и ковариантных компонент различных тензоров "незаконно"; такое равенство, даже если бы оно случайно имело место в какой-либо системе отсчета, нарушилось бы при переходе к другой системе.

Из компонент тензора

можно образовать скаляр путем образования суммы