AllPhysics.ru

     Для понимания физических основ механики при скоростях тел малых по сравнению со скоростью света достаточно ньютонова подхода, в то же время имеется ряд других (метод Лагранжа, метод Гамильтона и т.д.), более сложных математически, но более продуктивных для решения прикладных задач подходов. Они составляют предмет теоретической (аналитической) механики. Для полноты картины дадим их краткую характеристику, рассмотрим их взаимоотношения, достоинства и области применимости по классу решаемых задач, так как с точки зрения их связи с данными опыта все они базируются на представлениях Ньютона о пространстве, времени и возможности введения понятия материальной точки (частицы) как модели реального тела.

     Ньютонова механика изучает движение системы материальных точек в трехмерном евклидовом пространстве. Евклидово пространство обладает свойством однородности и изотропности, а время - свойством однородности. Основные понятия и теоремы ньютоновой механики (даже если они и формулируются в терминах декартовых координат) остаются неизменными при любом переносе замкнутой системы в пространстве, при ее произвольном повороте и при переходе другую равномерно движущуюся систему отсчета. Ньютонова потенциальная механическая система задается массами точек и потенциальной энергией их взаимодействия. Свойствам пространства и времени соответствуют 3 закона сохранения: импульса, момента импульса и энергии.

     Уравнения Ньютона позволяют полностью решить ряд важных задач механики, например задачу о движении в центральном поле.

     Лагранжева механика описывает движение механической системы при помощи понятия конфигурационного пространства - объединения N (где N - это число материальных точек системы) трехмерных евклидовых пространств с учетом наложенных на систему связей, ограничивающих движение отдельных тел. Лагранжева механическая система задается конфигурационным пространством и функцией Лагранжа, заданной в нем. Из свойств времени и конфигурационного пространства также следуют обобщенные законы сохранения (т. е. первые интегралы уравнений движения).

     Ньютонова потенциальная система - частный случай лагранжевой. Конфигурационное пространство в этом случае евклидово, а функция Лагранжа L равна разности кинетической и потенциальной энергий .

     Лагранжев подход весьма продуктивен при решении ряда важных задач механики, например, в теории малых колебаний и в динамике твердого тела.

     Следующий уровень обобщения составляет гамильтонова механика - это механика с использованием геометрии в фазовом пространстве, которое представляет собой пространство 6N измерений (где N - число материальных точек) объединяющих обычные пространственные координаты и импульсы частиц. В этом подходе также имеются соответствующие законы сохранения, связанные с первыми интегралами уравнений движения. Гамильтонова механическая система задается фазовым пространством, интегральным инвариантом Пуанкаре и функцией Гамильтона.

     Лагранжева механика включается в гамильтонову как частный случай, фазовое пространство в этом случае есть часть конфигурационного, а функция Гамильтона получается через преобразование Лежандра функции Лагранжа.

     Гамильтонов метод позволяет решить ряд задач механики, не поддающихся решению иными средств (например, задачу о притяжении двумя неподвижными центрами и задачу о геодезических линиях на трехосном эллипсоиде). Еще большее значение этот подход имеет для приближенных методов теории возмущений (небесная механика), для понимания общего характера движения в сложных механических систем (эргодическая теория, статистическая механика) и в связи с другими разделами математической физики (оптика, квантовая механика и т. п.).

     Характеризуя теоретическую (аналитическую) механику в своих "Лекциях о развитии математики в XIX столетии", Феликс Клейн (1832- 1899) писал, что "физик для своих задач может извлечь из этих теорий лишь очень немного, а инженер - ничего". Развитие науки в последующие годы решительно опровергло это замечание. Гамильтонов формализм лег в основу квантовой механики и является в настоящее время одним из наиболее часто употребляемых орудий в математическом арсенале физики. После того как было осознано значение применения вариационных математических методов для всевозможных задач оптимизации, уравнения Гамильтона стали постоянно использоваться в инженерных расчетах в этой области. С другой стороны, современное развитие небесной механики, связанное с потребностями космических исследований, привело к новому возрождению интереса к методам и задачам аналитики динамики.

     Упомянутые выше методы Лагранжа и Гамильтона, несмотря на свою плодотворность, не могут быть обобщены на случай движения со скоростями близкими к скорости света - так как в теории относительности понятие потенциальной энергии системы частиц отсутствует. Это связано с тем, что потенциальная энергия, зависящая только от взаимного расположения тел соответствует теории дальнодействия, что может быть применимо только в случае движения с малыми скоростями. Именно поэтому в этой книге изложение ведется только в рамках ньютоновой механики, наиболее просто обобщающейся на релятивистский случай.