AllPhysics.ru

      Рассмотрение свойств электростатического поля в неоднородной диэлектрической среде было бы неполным без анализа зависимостей между компонентами соответствующих векторных полей по разные стороны от границы раздела свойств диэлектрика.

      Рассмотрим сначала зависимость между нормальными к поверхности раздела компонентами векторного поля . Пусть в окрестности произвольной точки поверхности раздела двух сред выделена малая площадка и выбрано положительное направление нормали . Среда, расположенная в "положительном" пространстве относительно поверхности , описывается величинами с индексом 2, а среда в "отрицательном" пространстве относительно поверхности , описывается величинами с индексом 1. Из каждой точки контура, ограничивающего площадку , восстановим перпендикуляр к поверхности и отложим в среде 2 и среде 1 на этом перпендикуляре отрезок . Поверхность площадок и вместе с боковой поверхностью (рис. 2.10) образуют замкнутую поверхность, охватывающую объем с различающимися локальными характеристиками. К рассматриваемому объему применима теорема Гаусса для векторного поля в интегральной форме:

     

     где -вектор внешней нормали к элементу площади боковой поверхности, - суммарная величина свободных зарядов внутри рассматриваемого объема:

     .

Рис. 2.10.

     При записи выражения (2.39) учтено, что в среде 1 и среде 2 может существовать объемная плотность свободных электрических зарядов, а сама поверхность может дополнительно содержать свободные заряды с поверхностной плотностью .

      В математическом анализе известна оценка максимальной величины интеграла :

     

     С учетом этой оценки можно получить неравенства

     

     При эти интегралы стремятся к нулю, площадка , площадка , и в итоге получается условие:

     

     Замечая, что , приходим к соотношению:

     

     Поскольку соотношение (2.41) должно выполняться для произвольной площадки , то из интегрального условия (2.41) следует локальное:

     

     Сформулируем полученный результат: нормальные компоненты векторного поля на границе раздела двух сред испытывают скачок, равный поверхностной плотности свободных зарядов.

      Соотношение (2.42) теряет силу для точек поверхности , в которых расположены точечные заряды, и для линий, лежащих на поверхности и заряженных погонной плотностью свободных зарядов.

      Заметим, что теоремы Гаусса для векторных полей и по форме не отличаются от теоремы Гаусса для поля , поэтому, в частности, справедливо условие

     

      - поверхностная плотность связанных зарядов, расположенных на поверхности раздела двух сред. Поскольку чаще всего эта величина неизвестна, то соотношение (2.43) используют для ее расчета.

      Векторное поле напряженности электростатического поля и в диэлектрической среде остается потенциальным:

     

     Действительно, единственным ограничением при выводе условия (2.44) было требование неподвижности электрических зарядов, формирующих это поле. В условиях электростатики и свободные, и связанные заряды неподвижны, следовательно, условие (2.44) имеет место.

     Получим локальное условие для компонент вектора напряженности электростатического поля на границе раздела двух диэлектриков. В окрестности произвольной точки поверхности раздела двух сред после выбора положительного направления нормали рассмотрим замкнутый контур, показанный на рис. 2.11.

Рис. 2.11.

      В силу условия (2.44) получаем

     

     В этом соотношении 4 последних интеграла в левой части пропорциональны величине и при их величины также стремятся к нулю.

      В итоге, когда отрезок контура "ложится" на отрезок , отрезок контура "ложится" на отрезок , их направления противоположны, получаем интегральное условие

     

     откуда в силу произвольности отрезка контура получаем условие:

     

     Сформулируем полученный результат: тангенциальные (касательные) компоненты векторного поля непрерывны при переходе через границу раздела двух сред.

      Заметим, что касательные компоненты векторного поля однозначно формируют касательные компоненты векторных полей и , если среды изотропны. Поэтому условия (2.46) достаточно для получения соотношений связи касательных компонент векторных полей и на границе раздела двух сред.

      В заключение раздела отметим, что интегральная форма теоремы Гаусса, дифференциальная форма теоремы Гаусса и соотношения на поверхности раздела сред органически связаны друг с другом и одно немыслимо без другого.

Рис. 2.12. Излом силовых линий векторных полей и на границе раздела двух сред