AllPhysics.ru

     Основные свойства собственных функций. Значения, которые может принимать данная физическая величина называют в квантовой механике ее собственными значениями. Нахождение таких значений тесно связано с математической задачей определения собственных функций и соответствующих им собственных значений оператора .

     Если при действии оператора на некоторую функцию получается та же самая функция, умноженная на число, то есть если

     

     то такую функцию называют собственной функцией оператора , а число его собственным значением.

      Квантовомеханические операторы имеют не одну, а множество собственных функций и соответствующих им собственных значений. При этом совокупность собственных значений называют спектром оператора. Спектр оператора считается дискретным, если он состоит из счетного множества значений для соответствующих набору собственных функций , которые представляют собой регулярные решения уравнения вида

     

      Спектр собственных значений оператора может быть и непрерывным, когда в (3.43) оказываются возможными все значения , либо состоящим из отдельных полос, таких что возможные значения лежат в ряде интервалов.

      В ряде случаев одному собственному значению оператора принадлежит не одна, а несколько собственных функций . Такие случаи называются вырожденными, а число таких функций называется кратностью вырождения.

      Из (3.43) следует, что собственные функции, вообще говоря, определены с точностью до некоторой постоянной, значение которой обычно выбирают из условия нормировки собственных функций.

      Докажем, что собственные числа операторов физических величин в квантовой механике всегда являются действительными числами, и это свойство обусловлено самосопряженностью операторов. Действительно, пусть - самосопряженный оператор, а - его собственная функция, соответствующая собственному значению . По определению, функция является решением уравнения

     

     Выполнив здесь операцию комплексного сопряжения, получим

     

      Если в соотношении (3.42), которое для самосопряженного оператора выполняется тождественно, положить , то в результате получим интегральное соотношение

     

     которое с учетом (3.45) и (3.46) преобразуется к виду

     

     Отсюда следует, что , т.е собственные значения самосопряженных операторов всегда являются действительными величинами.

      Докажем важное свойство ортогональности собственных функций квантовомеханических операторов. Если и - две собственные функции самосопряженного оператора , соответствующие различным собственным значениям и , то они являются решениями следующих уравнений

     

      Условие (3.42) самосопряженности оператора , записанное для функций и принимает вид

     

     Отсюда с учетом (3.49) получаем

     

     Так как для самосопряженного оператора , то (3.51) преобразуется к виду

     

      Если , то , и из (3.52) получаем условие ортогональности собственных функций, соответствующих различным собственным значениям,

     

      Если волновые функции и считать нормированными на единицу, то условие ортогональности (3.53) собственных функций может быть записано как условие ортонормированности

     

     где символ Кронекера , и .

      В математической теории линейных самосопряженных операторов доказывается, что система собственных функций квантовомеханических операторов является полной системой функций. Это означает, что всякая волновая функция , определенная в той же области переменных, что и собственные функции оператора, может быть разложена по собственным функциям, то есть представлена в виде ряда

     

      Коэффициенты этого разложения (в общем случае комплексные) можно определить, воспользовавшись ортогональностью собственных функций. Действительно, умножим ряд (3.55) на и проинтегрируем по всему пространству. Тогда, изменив порядок суммирования и интегрирования, получим

     

     Отсюда, меняя обозначение на , получаем формулу для определения коэффициентов в разложении (3.55):

     

     Если оператор имеет непрерывный спектр собственных значений , лежащих в интервале , то в разложении любой волновой функции по собственным функциям суммирование переходит в интегрирование. Поэтому

     

     и непрерывное множество коэффициентов определяется по формуле

     

     Спектры собственных значений квантовомеханических операторов. Физическое содержание проблемы нахождения собственных значений квантовомеханических операторов, которое будет рассмотрено в параграфе 3.6, обуславливает принципиально важную роль в квантовой механике этой, на первый взгляд, чисто математической задачи.

      Рассмотрим несколько таких задач о нахождении спектров собственных значений операторов.

      1. Спектр собственных значений оператора координаты непрерывен. Действительно, так как действие этого оператора на волновую функцию сводится к умножению ее на координату , то уравнение задачи на собственные значения оператора , имеющее вид

     

     соответствует операторному равенству , которое по определению выполняется для любого значения . Аналогичные выводы получаем для операторов и .

      2. Спектр оператора проекции импульса также является непрерывным спектром. Действительно, задача на собственные значения такого оператора сводится к решению дифференциального уравнения первого порядка

     

     из которого следует определить возможные значения .

      Решение уравнения (3.61)

     

     при всех вещественных значениях определяет функцию ; удовлетворяющую всем стандартным условиям регулярности. Поэтому собственные значения оператора образуют непрерывный спектр, простирающийся от до . Такой же вывод относится к собственным значениям операторов и .

      3. Примером дискретного спектра является спектр собственных значений оператора проекции момента импульса . Для определения этого спектра направим полярную ось сферической системы координат вдоль направления оси . Тогда, с учетом (3.36) уравнение для определения собственных функций и собственных значений оператора запишется как дифференциальное уравнение первого порядка

     

     Общее решение этого уравнения может быть записано в виде

     

      Собственные функции оператора должны быть однозначными функциями, а так как угловая координата является циклической переменной задачи, то условие однозначности собственной функции сводится к условию ее периодичности: . Выполняя это условие для функции (3.64), получаем равенство

     

     или

     

     Из последнего соотношения следует, что

     

     Таким образом, найден дискретный спектр собственных значений оператора :

     

     соответствующий набору собственных функций этого оператора

     

     Значения константы выбрана в (3.66) из условия нормировки

     

      4. Для того, чтобы найти собственные функции и собственные значения оператора квадрата момента импульса уравнение

     

     с учетом формулы (3.36) следует записать в сферической системе координат. Тогда оно примет вид

     

      Решение этого уравнения может быть записано с привлечением специальных функций. Это решение приводится в курсах теоретической или математической физики. Ниже мы ограничимся лишь кратким перечнем свойств этого решения.

      Прежде всего отметим, что спектр собственных значений оператора оказывается дискретным, то есть уравнение (3.67) имеет решения из класса регулярных функций только для значений

     

     Каждому собственному значению из (3.68) соответствует различных собственных функций, которые выделяются заданием целочисленного параметра . Другими словами, каждое собственное значение оператора имеет кратность вырождения, равную .

      Собственные функции оператора , найденные из решения уравнения (3.67), имеют вид

     

     Функции относятся к классу специальных функций и называются сферическими или шаровыми функциями. Если их нормировать условием

     

     то можно выписать несколько первых нормированных сферических функций в явном виде

     

      5. Задачи о нахождении спектра собственных значений оператора полной энергии связаны с заданием конкретного вида потенциального силового поля, в котором движется частица. Некоторые из таких задач будут решены в главе 4 при описании стационарных квантовых состояний. В этих задачах решение уравнения Шредингера будет сведено к нахождению собственных функций и собственных значений гамильтониана .