AllPhysics.ru

      Пусть известна волновая функция, описывающая состояние частицы в квантовой системе. Каков будет результат измерения физической величины в этой системе? Как рассчитать и предсказать результаты эксперимента по определению этой физической величины?

      Ответ на эти вопросы о результатах измерений физических величин дает третий постулат квантовой механики, который утверждает, что в результате измерений физической величины в любой квантовой системе могут быть получены только такие значения, которые являются собственными значениями соответствующего оператора.

      Этот важный постулат квантовой механики устанавливает связь между теорией и возможностью ее экспериментальной проверки. Математический аппарат теории, используя представление физических величин операторами, позволяет предсказать результаты измерений физических величин в различных квантовых системах. Эти выводы теории могут быть проверены экспериментально.

      Так, например, используя найденные в предыдущем параграфе спектры собственных значений операторов и , можно утверждать, что при измерении модуля орбитального момента импульса атомов всегда будут получаться значения из набора

     

     а для проекции момента импульса на выделенное магнитным полем направление результаты экспериментов дадут значения

     

      Точное решение задачи квантовой механики об атоме водорода, которое будет рассмотрено в пятой главе, приведет нас к такому же выводу, причем целочисленные параметры и в теории атома называются квантовыми числами, характеризующими состояние электрона в атоме.

      Теперь следует ответить на вопрос о том, какое конкретное собственное значение оператора будет результатом измерения физической величины в квантовом состоянии, описываемом волновой функцией ? Ответ на этот вопрос подтверждает, что вероятная интерпретация лежит в основе всех положений квантовой механики.

      Если состояние частицы в квантовой системе описывается волновой функцией , которая является одной из собственных функций оператора , то в этом квантовом состоянии физическая величина имеет определенное значение, равное . Это означает, что если представить совокупность большого числа одинаковых квантовых систем (рис. 3.4), в которых тождественные частицы все находятся в одинаковых квантовых состояниях (такую совокупность систем называют квантовым ансамблем), то измеряя физическую величину в различных системах этого ансамбля, мы всегда будем получать в результате измерения одно и то же значение, равное .

Рис. 3.4.

      Однако, возможна и другая ситуация, когда волновая функция не будет является собственной функцией оператора . В таком квантовом состоянии физическая величина не имеет определенного значения. Это означает, что, согласно третьему постулату квантовой механики, и в этом случае результатом измерений физической величины в системах квантового ансамбля будут только значения из спектра собственных значений оператора . Однако, измерения в различных системах квантового ансамбля (рис. 3.5) будут давать различные значения и т.д. При этом каждое значение в квантовом ансамбле будет обнаруживаться с определенной вероятностью .

      В таких квантовых системах, в которых физическая величина не имеет определенного значения, имеет смысл находить среднее значение, то есть математическое ожидание результатов измерений в серии из большого числа измерений

     

     Для того, чтобы рассчитать вероятности в (3.71) следует разложить волновую функцию в ряд по полной системе собственных функций оператора , то есть представить в виде

     

Рис. 3.5.

      Напомним, что такое разложение всегда возможно, и коэффициенты этого разложения вычисляются по формуле

     

      Разложение (3.72) показывает, что произвольное квантовое состояние можно представить как состоящее из квантовых состояний с определенными значениями физической величины . Поэтому искомая вероятность равна квадрату модуля соответствующего коэффициента в разложении (3.72). Следовательно, среднее значение

     

     С учетом (3.73) преобразуем (3.74) к удобному для расчетов виду. При этом

     

     По свойству собственных функций и собственных значений оператора

     

     Поэтому

     

     С учетом свойства линейности оператора

     

     Поэтому, окончательно, получаем формулу для расчета среднего значения физической величины в квантовом состоянии системы, описываемом волновой функцией :

     

      Учитывая важность формулы (3.75), ее часто рассматривают как четвертый постулат квантовой механики.

      Отметим, что если , то из (3.75), естественно, следует, что

     

      Таким образом, квантовая механика позволяет дать численную оценку потенциальных возможностей того или иного поведения квантового объекта. И хотя вероятность того или иного результата измерения в квантовой механике относится к отдельному объекту, для экспериментального определения численного значения этой вероятности необходимо многократное повторение измерительного опыта в коллективе (ансамбле) из одинаковых систем.

      Такой подход к описанию физических явлений принципиально отличается от традиционного подхода классической теории. Поэтому на стадии становления квантовой механики столь необычные и революционные идеи даже в среде физиков не сразу нашли полное понимание.

      "Некоторые физики, в том числе и я сам, не могут поверить, что мы раз и навсегда должны отказаться от идеи прямого изображения физической реальности в пространстве и времени или что мы должны согласиться с мнением, будто явления в природе подобны игре случая. .... Я еще верю в возможность создания модели, то есть теории, способной излагать сами сущности, а не только вероятности их проявления." - писал А.Эйнштейн в начале века.

      Однако, впечатляющие успехи квантовой механики при описании явлений в микромире показали, что другой, альтернативной квантовой механике теории в физике нет.

      "Внедрение случайности в жизнь Вселенной не порождает хаоса. В жизни Вселенной осуществляется безмерно великое число проб и испытаний. В этом многообразии событий обнаруживается закон величайшей Красоты и Гармонии. Иллюстрацией этому утверждению может служить квантовая механика, законы которой основаны на концепции, отвергающей предопределенность событий. Именно на этой основе были вскрыты изумительные закономерности атомного мира, позволившие понять строение атомов и молекул, закономерности их взаимодействия" - читаем мы в книге известного физика Д.И.Блохинцева уже в конце столетия.

      Задача 3.5. Определите скорость изменения со временем среднего значения физической величины , считая, что оператор явно не зависит от времени.

      Решение: Так как

     

     то

     

     Учитывая, что эволюция волновой функции описывается уравнением Шреденгера, находим, что

     

     Поэтому

     

     Поскольку операторы и - эрмитовы, то первый интеграл в правой части этого равенства можно преобразовать к виду

     

     Следовательно,

     

      Полученное соотношение показывает, что производная по времени от среднего значения физической величины может быть представлена как среднее значение для некоторого оператора. Этот оператор и называют производной по времени оператора . Таким образом, для оператора , явно не зависящего от времени

     

      Отсюда следует, что если оператор некоторой физической величины не зависит явно от времени и коммутирует с гамильтонианом , то среднее значение этой физической величины не изменятся со временем. Как и в классической механике, в квантовой механике такие величины называются интегралами движения, соответствующими различным законам сохранения.