AllPhysics.ru

      Как, зная волновую функцию предсказать результат измерения соответствующей физической величины у частицы, находящейся в рассматриваемом квантовом состоянии? Для получения информации о физических величинах, связанных с движущейся частицей, в квантовой механике разработан специальный математический аппарат, который использует представления об операторах физических величин и результатах их действия на волновые функции.

      В работах М.Борна, П.Дирака и др. был сформулирован второй постулат квантовой механики, утверждающий, что каждой физической величине соответствует определенный оператор этой физической величины. При этом соотношения между операторами в квантовой механике имеют ту же структуру, что и соотношения между соответствующими им физическими величинами в классической механике.

      Для расшифровки этого постулата дадим некоторые пояснения. Оператор - это математическое правило, следуя которому мы можем преобразовать одну функцию в другую. Задать оператор - это означает определить рецепт такого преобразования. Такое преобразование может быть простым умножением исходной функции на число или известную функцию, дифференцированием функции, перестановкой аргументов функции и др.

      В квантовой механике в качестве символа соответствующего оператора используется классическое обозначение физической величины, ставя над буквой "шляпку" в виде значка "". Например, - это оператор координаты , - оператор проекции импульса на ось , - оператор потенциальной энергии и т.д. Оператор предполагается действующим на написанную вслед за ним функцию. В качестве таких функций в квантовой механике выступают волновые функции. При этом равенство двух функций в операторной форме будет записываться как равенство операторов: .

      Определим операторы основных физических величин в квантовой механике.

      1. Оператор координаты. Действие этого оператора на волновую функцию сводится к умножению ее на соответствующую координату, то есть.

     

     В символической операторной форме записи этих операций имеют вид

     

      Объединяя эти формулы, можно ввести векторный оператор , соответствующий радиусу-вектору в классической механике. Такой оператор формально рассматривается как некоторый вектор, имеющий в качестве компонент в декартовой системе координат операторы . Поэтому

     

      2. Оператор импульса. С помощью операций дифференцирования по координатам определим операторы проекций импульса, записав эти определения в символической операторной форме как

     

      Все три формулы в (3.30) можно объединить в одну, введя векторный оператор импульса , который с учетом (3.30) запишется как

     

     Здесь

     

      Используя соотношение классической механики

     

     определим оператор квадрата импульса как

     

     Используя символ оператора Лапласа, запишем (3.32) в более компактном виде

     

      3. Оператор момента импульса. По формуле классической механики, определяющей момент импульса частицы как вектор , запишем выражения для его проекций на координатные оси:

     

      Эти соотношения превратим в операторные, определяющие операторы проекций момента импульса

     

     Оператор квадрата момента импульса можно построить по правилу

     

      Отметим, что задачи квантовой механики, обладающие сферической симметрией, удобнее решать не в декартовой, а в сферической системе координат , и . Переходя от декартовых координат к сферическим по обычным правилам замены переменных , , , формулы (3.34) и (3.35) можно преобразовать к следующему виду

     

     Здесь

     

     - угловая часть оператора Лапласа в сферической системе координат.

      4. Операторы энергий. Классическая формула связи кинетической энергии частицы с квадратом ее импульса

     

     позволяет записать аналогичное соотношение между соответствующими операторами. Поэтому

     

      Если частица движется в стационарном силовом поле, и ее потенциальная энергия определена в любой точке пространства, то оператор потенциальной энергии определяется как оператор умножения на функцию , то есть

     

      Так как полная энергия частицы в классической механике есть сумма кинетической и потенциальной энергий, то в квантовой механике оператор полной энергии определяется как сумма операторов кинетической и потенциальной энергий. Поэтому

     

     Раскрывая выражение для оператора квадрата импульса по формуле (3.33), запишем оператор полной энергии как

     

     В классической механике полную энергию частицы, выраженную через ее координаты и импульс, называют функцией Гамильтона. Поэтому в квантовой механике оператор полной энергии называют оператором функции Гамильтона или просто гамильтонианом.

      Гамильтониан является основным оператором квантовой механики, поскольку, выбирая конкретный вид гамильтониана, с учетом силового поля, действующего на частицу, мы формулируем на математическом языке все особенности квантовой системы. Поэтому и основное уравнение нерелятивистской квантовой механики - уравнение Шредингера (3.8) может быть записано в операторной форме

     

     содержащей гамильтониан .

      Физическое содержание операторного метода в квантовой механике накладывает определенные ограничения на возможный вид квантовомеханических операторов. Пусть - оператор физической величины . Тогда для любых функций и и произвольных постоянных и должно выполняться равенство

     

      Операторы, обладающие таким свойством, называются линейными операторами. Свойство линейности операторов физических величин тесно связано с принципом суперпозиции квантовых состояний. Только использование в теории линейных операторов не нарушает этого принципа.

      Оператором физической величины может быть только линейный самосопряженный (эрмитов) оператор. Только такому оператору соответствует действительная (не комплексная) физическая величина. Самосопряженным называют оператор, который совпадает со своим сопряженным оператором. В этом случае для произвольных функций и тождественно выполняется следующее интегральное равенство

     

      Таким образом, каждой физической величине в квантовой механике приводится в соответствие определенный линейный самосопряженный оператор. Непосредственной проверкой можно убедиться, что все приведенные выше квантовомеханические операторы обладают такими свойствами.

      Задача 3.4. Проверьте условие самосопряженности оператора проекции импульса .

      Решение: Рассмотрим две нормированные волновые функции и , удовлетворяющие стандартным условиям регулярности и, в частности, условиям на бесконечности: . С помощью интегрирования по частям находим, что

     

     Таким образом, мы доказали, что

     

     В соответствии с (3.42), это и доказывает для одномерного случая () самосопряженность оператора . Для и доказательство аналогично.