AllPhysics.ru

      Пусть в некотором конечном объеме безграничного пространства текут электрические токи с объемной плотностью . Предположим, что для рассматриваемого объема выполнено условие

     

     Введем в рассмотрение величину

     

     которую назовем магнитным моментом системы токов в объеме . В определении (4.2) - радиус-вектор элемента тока . Можно проверить, что величина (4.2) характеризует систему токов в объеме и не зависит от выбора положения начала координат системы отсчета. Действительно, если

     

     то

     

     Учитывая условие (4.1), убеждаемся, что

     

      Если ток течет по тонкому проводнику, имеет место очевидная замена при этом направление тока считается положительным, если оно совпадает с направлением ориентированного отрезка контура . В этом случае

     

     если выполнено условие

     

     В простейшем случае замкнутого контура величина постоянна для всех элементов рассматриваемого контура, что приводит к соотношениям:

     

Рис. 4.1. К определению дипольного момента контура с током

     Заметим, что второе из соотношений (4.5) - формальное требование замкнутости контура.

      Векторное произведение в первом из соотношений (4.5) можно преобразовать:

     

     где - ориентированный элемент площади треугольника, образованного векторами и . С учетом этого преобразования получаем:

     

     Допустим, что на рассматриваемый контур с током "натянута" поверхность , для которой выполнены известные условия непрерывности и гладкости. Боковая поверхность конуса , составленная из элементов поверхности и поверхность в совокупности образуют замкнутую поверхность, для которой

     

     Заметим, что выражение (4.7) справедливо, если нормаль к поверхности направлена внутрь конического тела.

      Из соотношения (4.7) следует:

     

     а если сменить направление нормали к элементу поверхности на противоположное, то получим

     

     Таким образом, магнитный момент пространственного (не лежащего целиком в какой-либо плоскости) замкнутого контура с током определен соотношением:

     

     Следует заметить, что в рассмотренном построении естественным образом возникло правило согласования между собой положительного направления обхода контура (направление ) и направления нормали к элементам поверхности, натянутой на этот контур.

      Если замкнутый контур с током является плоским, тогда вектор нормали к плоской поверхности сохраняет одно и то же направление для всех элементов плоской поверхности, величину можно вынести из под знака интеграла (4.8), а оставшееся выражение проинтегрировать:

     

     Заметим, что для плоского контура справедливы формулы и (4.8) и (4.9),

Рис. 4.2. Дипольный момент плоского контура с током

     только поверхность в выражении (4.8) - произвольная, а в выражении (4.9) - обязательно плоская.

Рис. 4.3. Элементарный контур с током

      Для более отчетливого выявления физического понятия "магнитный момент контура с током" рассмотрим равномерное движение частицы с массой и электрическим зарядом в выражении (4.8) - по окружности радиуса со скоростью .

      Длина окружности определена соотношением , циклическая частота прохождения заряженной частицей контрольной точки траектории равна . Последнее означает, что заряд за единицу времени раз пересечет контрольное сечение. Получается, что рассматриваемое движение заряженной частицы эквивалентно элементарному току

     

     Если учесть, что площадь кругам равна , то для величины магнитного момента получим выражение:

     

     Механический момент количества движения рассматриваемой частицы по определению равен

     

     Для положительно заряженной частицы вектор и вектор совпадают по направлению. Для отрицательно заряженной частицы направление тока по контуру противоположно направлению движения частицы (понятие "ток" вводят первоначально как движение положительных зарядов). Из соотношений (4.10) и (4.11) следует

     

     Величина называется "гиромагнитным отношением", для отрицательно заряженных частиц гиромагнитное отношение отрицательно.

      Формула (4.12) вскрывает связь между моментом количества движения (механическая система) и магнитным моментом системы токов (электрическая система). Для отдельно взятой заряженной материальной частицы наличие момента количества движения с необходимостью влечет наличие магнитного момента системы. Для системы частиц дело обстоит сложнее. Проблема решается с помощью принципа суперпозиции как по моменту количества движения, так и по магнитному моменту системы элементарных токов. Вполне возможными являются случаи и наоборот.