AllPhysics.ru

      Строгое определение характеристик магнитного поля контура с током следует из закона Био-Савара-Лапласа и принципа суперпозиции:

     

     

     В выражениях (4.13) и (4.14)- радиус-вектор точки наблюдения, - радиус-вектор отрезка замкнутого контура, - ток, текущий в контуре (постоянный для каждого поперечного сечения контура).

      Выражения (4.13) и (4.14) для "дальней зоны", то есть для точек наблюдения, расположенных на расстоянии, значительно большем, чем характерный линейный размер контура, могут быть записаны в более простой приближенной форме. При этом более отчетливо выявляется характер убывания величин (4.13) и (4.14) с удалением точки наблюдения от "точечного" контура с током. Эти зависимости имеют вид:

     

     

     В выражении (4.16) - оператор Гамильтона (оператор набла) в декартовой системе координат, - единичный орт направления из места расположения контура с током в точку наблюдения. Оказывается, что векторный потенциал магнитного поля убывает с увеличением расстояния от контура с током обратно пропорционально квадрату расстояния, а поле магнитной индукции - обратно пропорционально кубу расстояния. Эти результаты удивительным образом совпадают с результатами исследования электростатического поля вдали от "точечного" диполя с электрическим моментом .

      Докажем справедливость приближенных выражений (4.15) и (4.16). При этом оказывается полезной одна из форм математической теоремы Стокса:

     

     С учетом этого соотношения выражение (4.14) можно переписать в виде:

     

     Поскольку величина - скалярная величина, выражение (4.18) принимает вид:

     

     Заметим, что вычисление градиента в подынтегральном выражении (4.19) необходимо провести "по штрихованным переменным":

     

     Соотношение (4.20) проверяется непосредственным вычислением.

     Если учесть, что точка наблюдения расположена "далеко" от контура, т. е. зависимость в пределах изменения вдоль точек контура меняется слабо, точное соотношение (4.19) перепишем в форме:

     

     где - радиус-вектор "точки" расположения контура с током. Легко видеть, что соотношения (4.21) и (4.15) полностью совпадают друг с другом. Заметим, что соотношение (4.15) оказывается справедливым и для случая токов в малом объеме без предположения о том, что ток течет по тонкому контуру, это доказательство можно найти в более полных руководствах по электродинамике.

      Зависимость (4.16) получается из зависимости (4.15) непосредственным вычислением, при этом необходимо помнить, что вычисляется по координатам точки наблюдения. В процессе вычислений оказывается полезной формула векторного анализа:

     

     С учетом того, что является постоянной векторной величиной, и легко проверяемым результатом

     

     приходим к соотношению

     

     Далее проводим вычисления в координатной форме и записываем результат в компактной векторной форме. Соотношения (4.15) и (4.16) доказаны.