AllPhysics.ru

     Рассмотрим тонкий замкнутый контур конечных размеров l с током J. Согласно закону Био-Савара-Лапласа каждый элемент тонкого контура с током создает в окружающем пространстве магнитное поле:

     

     где - вектор, проведенный из точки расположения элемента с током в точку наблюдения. Зависимость (5.1) для упрощения выкладок записана для среды, для которой магнитная проницаемость . Напомним, что направление вектора совпадает с направлением тока J вдоль контура.

      Допустим, что на замкнутый контур l опирается поверхность S, к элементу площади которой dS проведена нормаль (). Зависимость (5.1) позволяет рассчитать элементарный магнитный поток через поверхность dS

     

     Соотношение (5.2) можно проинтегрировать по поверхности S и вдоль контура l, используя принцип суперпозиции:

     

     Если рассматриваемый контур "простой", т.е. если сила тока J постоянна вдоль контура, то зависимость (5.3) приобретает вид:

     

     Оказывается, что магнитный поток, пронизывающий поверхность, которая опирается на замкнутый контур с током, пропорционален силе тока, текущего вдоль контура. Коэффициент пропорциональности L между силой тока J и магнитным потоком Ф называют индуктивностью контура или коэффициентом индуктивности контура. Выражение для индуктивности контура (5.4) можно записать в более простой форме:

     

     где , а величина r - расстояние между элементом dl и элементом dl' одного и того же контура l.

      Формулу (5.5) также можно получить с использованием векторного потенциала магнитного поля:

     

     В предыдущей части курса была выведена формула

     

     для векторного потенциала магнитного поля, образованного в окружающем пространстве током, который течет в замкнутом контуре l. С использованием соотношений (5.6) и (5.7) получаем:

     

     Приведенные выше рассуждения справедливы для "тонкого" контура с током. Для проводников конечного поперечного сечения вычисление коэффициента L сопряжено с определенными трудностями.

      Заметим, что случай можно описать подобным образом.

      Если рассмотреть два близко расположенных друг к другу контура конечных размеров l₁ и l₂, по которым текут токи J₁ и J₂, то легко догадаться, что магнитный поток через поверхность, натянутую на второй контур, вызванный током в первом контуре, можно записать в форме:

     

     и соответственно для обратной ситуации можно получить:

     

     Коэффициенты L₂₁ и L₁₂ называются коэффициентами взаимной индуктивности контуров l₁ и l₂. Они могут быть рассчитаны по следующим формулам:

     

     

     Вывод формул (5.11) и (5.12) отличается несущественными деталями от вывода формулы (5.8).

      Из формул (5.11) и (5.12) с очевидностью следует "теорема о взаимности":

     

     Физически соотношение (5.13) эквивалентно отношению:

     

     Из изложенного выше ясно, что коэффициенты L, L₂₁ и L₁₂ аккумулируют в себе свойства среды (если ) и зависят от геометрии контура (контуров) и выбора направлений обхода контуров.

Рис. 5.1.

      Вернемся к рассмотрению простого контура с током (рис. 5.1). Ток, текущий в контуре, создает в окружающем пространстве магнитное поле. Это поле обладает вполне определенной энергией. Изменение конфигурации контура сопряжено с работой против сил магнитного поля и, естественно, с изменением магнитной энергии в пространстве:

     

     В цепочке выкладок (5.15) - сила Ампера, действующая на проводник с током в магнитном поле , - элемент контура, по которому течет ток. - смещение элемента контура. Произведение представляет собой направленный элемент ометаемой поверхности, dФ - величина изменения магнитного потока. Если вспомнить, что из соотношения (5.4) следует

     

     то, комбинируя результат выражения (5.15) с соотношением (5.16), получим

     

     откуда

     

     Соотношение (5.18) позволяет дать другое определение (и метод расчета!) величины индуктивности:

     

     Если учесть, что

     

     где V - объем, в котором магнитное поле , вызванное током J, отлично от нуля, то соотношение (5.19) становится полностью определенным. Заметим, что соотношения (5.19) и (5.20) свободны от предположения о том, что проводник, по которому течет ток, является тонким.

      Заметим, что "энергетический" подход очень наглядно демонстрирует теорему о взаимности коэффициентов индуктивности. Действительно, пусть ток J₁ создает поле , а ток J₂ - поле . Результирующее поле . В этом случае

     

     где

     

     

     

     По определению можно положить:

     

     

     

     Выше, соотношение (5.20), фактически была определена объемная плотность энергии магнитного поля. Обоснование такого определения следует из общих уравнений электродинамики (система уравнений Максвелла), которые будут раcсмотрены в последующих разделах курса. Но можно было бы непосредственно вычислить индуктивность конечного участка бесконечного соленоида, по формуле (5.18) получить величину магнитной энергии и предельным переходом получить величину объемной плотности энергии магнитного поля.