AllPhysics.ru

Расчёт электромагнитного поля рамки с током

Следствием симметрии уравнений Максвелла (1.1b) относительно векторов напряжённостей электрических и магнитных полей является генерация электрического поля при изменении магнитного и наоборот, имеющая место при распространении электромагнитных волн.

Рис. 2.11.

По этой причине наряду с дипольным излучением движущегося электрического заряда c длиной волны существует электромагнитное излучение, источником которого является элементарный магнитный излучатель, представляющего собой замкнутый контур (рис.2.11a) с протекающим по нему переменным током с частотой , при условии, что диаметр контура , где - расстояние от центра рамки до точки наблюдения. Другой моделью магнитного излучателя может служить щелевой излучатель (рис.2.11b) в виде щели, прорезанной поперёк направления линий тока, протекающего по поверхности проводящей плоскости.

Для определения электромагнитных полей магнитного излучателя можно использовать результаты уже решенной задачи для излучения диполя Герца. В соответствии с этим магнитный излучатель на расстояниях, значительно превышающих его размеры, представляет собой источник сферической электромагнитной волны, поляризация излучения которой будет определяться направлением вектора индукции магнитного поля, создаваемого на своей оси контуром с током. Пусть ось контура совпадает с осью декартовой системы координат, в плоскости которой расположена плоскость контура с током (рис.2.11a), причём, направление тока в нём выбрано таким, чтобы оно было против часовой стрелки, если смотреть с конца орта оси . Тогда , электрическое поле сферической волны магнитного излучателя будет всюду направлено по касательной к окружностям (рис.2.11a), центр которых расположен на оси , а плоскость параллельна плоскости контура. Магнитное поле магнитного излучателя будет направлено перпендикулярно электрическому полю и направлению распространения волны, так, чтобы эти векторы образовывали правую тройку векторов. Сравнение структуры силовых линий магнитного излучателя и дипольного приводит к выводу, что структура силовых линий электрического поля одного такая же, как структура силовых линий магнитного поля другого. Отличие имеется в направлении электрических силовых линий магнитного излучателя, которые противоположны направлению магнитных силовых линий дипольного излучателя. Это обусловлено различной природой источников электромагнитного излучения в рассматриваемых излучателях. Так в магнитных излучателях напряженность вихревого электрического поля должно иметь такое направление, чтобы в соответствии с законом электромагнитной индукции ослабить магнитный поток, пронизывающий контур силовой линии.

Для количественных оценок полей магнитного излучателя можно использовать формулы (2.10) и (2.11), в которых следует сделать замены , где - волновое сопротивление среды, определяемое (1.12).

Для того чтобы убедиться в этом, рассмотрим расчет по формуле (2.5) вектора индукции магнитного поля , создаваемого рамкой с протекающим по ней током . Из решения задачи 2.2 в конце параграфа:

где точка над символом магнитного момента обозначает его производную по времени; - магнитный момент рамки с током; - расстояние от центра рамки (начала декартовой системы координат ) до точки наблюдения; - вектор ориентированной площади контура.

Из (2.14) следует, что магнитное поле рамки с током, расположенной в плоскости , определяется векторным произведением , единственной отличной от нуля компонентой которого в сферической системе координат является его - ая компонента, т. е. :

Тогда в сферической системе координат, центр которой совмещён с центром рамки и началом декартовой системы координат, получаем, что . После выполнения дифференцирования приходим к следующим формулам для компонент вектора индукции магнитного поля электромагнитной волны, излучаемой рамкой с током:

На больших расстояниях от рамки с током () радиальная компонента вектора индукции магнитного поля убывает быстрее, чем , соответствующая координате . Отсюда следует вывод о том, что у магнитного поля рамки с током на большом расстоянии от неё единственной, отличной от нуля компонентой является - ая, т. е.:

Как видим, что магнитное поле вдали от излучателя имеет характер сферической волны, которая при локально в каждой точке может рассматриваться как плоская волна. Исходя из этого обстоятельства, найдём вектор напряжённости электрического поля , полагая его связь с магнитным полем такой, как это имеет место в плоской волне в соответствии с (1.12a).

Для рассматриваемой плоской волны вектор параллелен радиус вектору , проведённому в точку наблюдения из начала координат, где находится рамка с током, и единственной отличной от нуля компонентой будет - ая, т. е:

Таким образом, как и электромагнитное поля диполя Герца, так и электромагнитное излучение рамки с током является поперечным.

Магнитный излучатель в виде рамки радиуса , по которой протекает переменный ток частотой , имеет магнитный момент . Соответствующие значения компонент векторов напряженностей его электрического и магнитного полей будут равны:

Интересно отметить общность формул для расчета электромагнитных полей диполя Герца и рамки с током. Для этого в формулах для полей диполя Герца надо заменить дипольный момент на - магнитный момент рамки, делённый на скорость света. И, кроме того, в формулах надо заменить напряженность электрического поля на напряженность магнитного поля и наоборот.

Возможность рассчитать поле магнитного излучателя по известным полям электрического и наоборот имеет фундаментальное значение в теории электромагнитных волн и известна как принцип двойственности. Принцип двойственности был предложен в 1944 г. выдающимся российским учёным в области антенн А. А. Пистолькорсом.

Принцип двойственности явился электродинамическим обобщением известного принципа Бабине, используемого в оптике для расчёта дифракции света на плоских непрозрачных экранах и отверстиях, совпадающих по форме с экраном, подробнее рассматриваемого в гл.6.

Согласно принципу двойственности решение основных уравнений электромагнитного поля для вектора напряжённости электрического поля при заданных граничных условиях для этого вектора справедливо для вектора напряжённости магнитного поля при том же граничном условии, но принимаемом для вектора напряжённости магнитного поля. Выше мы говорили о том, что к магнитным типам излучателей относятся щелевые излучатели. Проиллюстрируем применение принципа двойственности для расчёта поля щелевого излучателя, представляющего собой щель в плоском экране, являющегося бесконечно проводящим (рис.2.11b). Пусть известно распределение напряженности электрического поля между краями щели. Если теперь взять пластинку, совпадающую по форме со щелью и считать, что магнитное поле на пластинке распределено так же, как электрическое между краями щели, то согласно принципу двойственности электрическое поле в пространстве над экраном будет совпадать с магнитным полем вокруг пластинки, если граничные условия для вектора напряженности электрического и магнитного полей в обоих случаях совпадают . Граничным условием для вектора напряженности электрического поля на экране является требование обращения в нуль тангенциальной составляющей на нём. Тангенциальная составляющая вектора напряженности магнитного поля в той же плоскости также равна нулю. Действительно, появление магнитного поля на пластинке обусловлено протеканием по ней тока. Причём, вектор напряженности магнитного поля будет перпендикулярен направлению тока на пластинке, т. е. будет иметь тоже направление, что и электрическое поле между краями щели. Отсюда следует совпадение структур электрического поля щели и магнитного поля пластинки, имеющей одинаковую форму со щелью.