Электрический диполь во внешнем электрическом поле

Рассмотрим, каким воздействиям подвергается электрический диполь с электрическим моментом

во внешнем электростатическом поле

. В этих условиях он испытывает действие силы

(2.8)

момента

(2.9)

и приобретает потенциальную энергию

(2.10)

В процессе вывода соотношений (2.8) - (2.10) станет ясен математический и физический смысл приведенных выражений.

Перед началом выкладок напомним некоторые сведения из математического анализа. Для скалярной функции одного переменного справедливо приближенное выражение

(2.11)

Это соотношение легко обобщается для случая скалярной функции нескольких пространственных переменных:

(2.12)

Если

-радиус-вектор произвольной точки пространства,

- малый произвольный вектор с компонентами

, то выше приведенное выражение можно записать в форме:

(2.13)

формально

(2.14)

причем соотношение (2.14) справедливо в декартовой системе координат.

Для векторной величины

соотношение (2.13) можно записать для каждой компоненты отдельно, а в компактной форме записи получить:

(2.15)

Зависимости (2.13) и (2.15) являются обобщением отрезка ряда Тейлора для скалярной функции одного переменного (2.11) на многомерный случай скалярного и векторного полей.

Рис. 2.3.
Электрический диполь во внешнем электростатическом поле

Рассчитаем силу, действующую на электрический диполь во внешнем электростатическом поле

(рис. 2.3). На рис 2.3

- радиус-вектор точки расположения отрицательного заряда диполя, а

- радиус-вектор точки расположения положительного заряда диполя. Суммарная сила, действующая на рассматриваемую систему электрических зарядов описывается выражением:

(2.16)

С учетом приведенного выше соотношения (2.15) получим

Результат (2.8) получен. Заметим, что зависимость (2.8) в случае однородного электрического поля

обращается в нуль.

Для момента сил, действующих на рассматриваемую систему электрических зарядов, относительно начала координат имеем:

(2.17)

Если в выражении (2.17) использовать соотношение (2.15) для вычисления

и в полученном соотношении пренебречь членом с сомножителем

из-за его малости, приходим к результату:

(2.18)

где

определено соотношением (2.8).

Рис. 2.4.
Момент сил, действующий на электрический диполь во внешнем

Если рассчитывать момент сил (2.18) относительно точки расположения отрицательного заряда диполя, то получаем

и приходим к соотношению (2.9). Тот же результат получается и при расчете момента сил (2.18) относительно центра масс системы электрических зарядов.

Рассчитаем величину потенциальной энергии, приобретаемой электрическим диполем во внешнем электрическом поле. Будем исходить из очевидного соотношения:

(2.19)

С помощью формулы (2.13) преобразуем соотношение (2.19):

(2.20)

где

- угол между вектором

и направлением напряженности электростатического поля

. Таким образом, соотношения (2.8) - (2.10) доказаны.

Рис. 2.5.
Потенциальная энергия электрического диполя в однородном электростатическом поле в зависимости от ориентации диполя

Обсудим некоторые следствия полученных результатов. Из формулы (2.8), в частности, следует, что только в неоднородном поле

возникает сила, действующая на диполь как на систему зарядов. Из формулы (2.20) следует, что потенциальная энергия системы будет минимальна, если направления векторов