Главная › Курс физики

8.10. Задания по релятивистской кинематике

     1. Теоретический материал
     Релятивистское уравнение движения. Релятивистская масса, импульс. Масса покоя. Инертные свойства тела в направлении скорости и в перпендикулярном направлении. Причины несовпадения силы и вызываемого ею ускорения. Несоблюдение третьего закона Ньютона в простейшей форме в электромагнитных взаимодействиях. Законы сохранения импульса, момента импульса и энергии в релятивистском случае. Полная энергия и энергия покоя. Соотношение между массой и энергией. Энергия связи. Ускорители заряженных частиц.
     2. Вопросы по теоретическому материалу
     1. Покажите, каким образом из релятивистского уравнения движения следует, что инертные свойства тела в направлении движения и в перпендикулярном направлении различаются.
     2. Пусть сила образует острый угол ? с направлением скорости. Каков угол между ускорением и скоростью - больше ? или меньше?
     3. Два покоящихся тела слипаются. Чему равна масса тела, образовавшегося в результате слипания?
     Два движущихся с одной и той же скоростью тела слипаются в движении. Чему равна масса покоя тела, образовавшегося в результате слипания?
     Два тела, массы покоя которых одинаковы, движутся друг навстречу другу с одинаковыми скоростями и испытывают абсолютно неупругий удар, в результате которого образуется одно тело. Какова масса покоя образовавшегося тела?
     4. Какие аргументы можно привести для доказательства утверждения, что несоблюдение третьего закона Ньютона в простейшей форме в электромагнитных взаимодействиях обусловлено не какими-то особыми свойствами электромагнитных сил, а релятивистскими свойствами пространства и времени?
     5. Понятия центра масс системы материальных точек в релятивистском случае не существует, однако координатная система центра масс не только существует, но является очень важным понятием. Разъясните смысл этого утверждения.
     6. Следствием каких общих свойств пространства и времени являются законы сохранения энергии, импульса и момента импульса?
     7. Докажите, что величина тс2 не просто некоторая величина, имеющая размерность энергии, но и действительна энергия, называемая энергией покоя. Какое при этом важнейшее свойство энергии необходимо использовать?
     8. Какие физические явления доказывают наличие инертных свойств у потенциальной энергии?
     9. Приведите экспериментальные факты, доказывающие справедливость соотношения между массой и энергией. Почему не имеет смысла утверждение о превращении массы в энергию и наоборот? Может ли существовать физическая система, обладающая энергией и не обладающая инертностью или обладающая инертностью и не обладающая энергией?
     10. Что такое энергия связи? Начертите график энергия связи, приходящейся на одну частицу, в зависимости от массового числа ядер. Какие особенности графика приводят к заключению о возможности получения энергии при расщеплении тяжелых ядер и при слиянии легких?
     11. Перечислите известные Вам методы ускорения заряженных частиц.
     3. Основные типы задач и методы их решения
     1. Найти плоскую траекторию релятивистской частицы с массой покоя и зарядом е в однородном, постоянном по времени магнитном поле.
     Решение. Уравнение движения имеет вид
     
     Поскольку сила действует перпендикулярно скорости, абсолютная величина скорости в процессе движения не изменяется и поэтому величина . Следовательно, уравнение движения принимает вид
     
     Это уравнение движения совпадает с уравнением движения частицы в нерелятивистском случае, но с релятивистской массой
     
.
     Поэтому траекторией является окружность, радиус г которой можно найти из равенства
     
     т. е.
     
     2. Найти движение частицы массы m с зарядом е в постоянном электрическом поле Е0, направленном вдоль оси х. При t = 0 частица покоится в начале координат.
     Решение. Ясно, что движение происходит вдоль оси х, а уравнения движения имеют вид
     
     Отсюда с учетом нулевой начальной скорости находим
     
     Будем считать для определенности, что , и введем обозначение . Тогда из последнего уравнения получаем
     
     После интегрирования определяем зависимость координаты от времени
     
     В нерелятивистском случае можно считать, что , н положить
     
     cледовательно, зависимость координаты от времени принимает хорошо известный вид
     
     3. Два тела с массами покоя движутся навстречу друг другу с одинаковыми абсолютными скоростями v и испытывают лобовой абсолютно неупругий удар. Какова масса покоя образовавшегося в результате удара тела?
     Решение, Используя закон сохранения энергии при столкновении, получим
     
     то есть
     
     Таким образом, в массу покоя образовавшегося в результате столкновения тела полностью переходит инертность движения тела. В энергию покоя полностью переходит кинетическая энергия тела.
     4. Исследовать особенности релятивистского движения заряженной частицы в кулоновском поле ядра с зарядом Ze.
     Решение. Законы сохранения энергии и момента импульса имеют вид
     
     
     Из закона сохранения энергии видно, что если то траектория частицы уходит на бесконечность при г-мх"). При траектория частицы заключена в конечной области пространства и частица не может отдалиться больше, чем на расстояние определяемое законом сохранения энергии
     
     Минимальное расстояние и максимальную скорость можно найти также из законов сохранения:
     
     
     Из этих двух уравнений можно найти и . Для нахождения дальнейших свойств возможных траекторий необходимо рассмотреть решение уравнений. В частности, из последних двух уравнений видно, что при
     5. Сколько килокалорий выделяется при образовании 1 кг гелия в результате слияния ядер дейтерия? Энергия связи на одну частицу в дейтерии равна 1;09 МэВ, а в гелии 7,06 МэВ.
     Решение. При образовании одного ядра гелия из двух ядер дейтерия выделяется энергия
     
     При образовании 1 кг гелия выделяется энергия
     
     Вопросы для самоконтроля
     1. Частица движется в направлении оси x с большой скоростью. На нее действует большая сила в направлении оси у. Изменится ли в результате действия этой силы скорость частицы направлении оси x?
     2. Частица обладает массой покоя . При каких энергиях частицы можно считать ее скорость практически равной скорости света и при увеличении энергии считать скорость практически постоянной?
     3. Каковы условия движения частицы в конечной области и условия ухода на бесконечность?
     4. Почему ядро дейтрона, состоящее из протона и нейтрона, имеет меньшую массу, чем сумма их масс в свободном состоянии?
     5.Частица самопроизвольно распадается на две частицы так, что эти частицы движутся с различными скоростями, Сумма масс покоя образовавшихся частиц будет больше или меньше покоя исходной частицы?
     Задачи для самостоятельного решения
     1. При какой скорости электрона его масса будет равна массе покоя протона?
     Ответ: .
     2. Можно приблизительно считать, что масса покоя частицы в четыре раза больше массы покоя протона, а ее заряд составляет два элементарных заряда. Протон и частица ускоряются одинаковой разностью потенциалов.
     Какова должна быть разность потенциалов, чтобы масса частицы превосходила массу протона в 3 раза?
     Ответ:
     3. В магнитном поле электрон движется по окружности радиуса 3 м. Определить энергию электрона.
     Ответ:
     4. На сколько увеличится масса 1 кг воды, если ее нагреть от 0 до 100°С?
     Ответ: кг.
     5. Мощность потока солнечной энергии на орбите Земли равна примерно 8,4 Дж/см2-мин. Радиус Земли равен 6400 км. Считая, что Землей поглощается примерно 1 % падающей энергии, определить, на сколько килограмм в минуту увеличивается масса Земли за счет поглощения потока энергии от Солнца.
     Ответ: кг/мин.
     6. На сколько ежеминутно уменьшается масса Солнца за счет излучения, если на орбите Земли мощность потока солнечной энергии равна 8,4 кал/см2-мин. Радиус Солнца считать равным 700000 км.
     Ответ: т/мин.
     7. Найти энергию, выделяющуюся при делении 1 кг урана, если при делении одного атома урана в среднем выделяется 200 МэВ. Какому количеству угля это эквивалентно, если теплотворная способность угля равна 7000 ккал/кг? Какой массе соответствует эта энергия?
     Ответ:
     8. Фотон с частотой поглощается покоящимся атомом массы М. Определить скорость атома после поглощения фотона.
     Ответ: