AllPhysics.ru

§ 1. Тепловые машины; первый закон

§ 2. Второй закон

§ 3. Обратимые машины

§ 4. Коэффициент полезного действия идеальной машины

§ 5. Термодинами­ческая температура

§ 6. Энтропия

§ 1. Тепловые машины; первый закон

До сих пор мы рассматривали свойства вещества с атомной точки зрения, причем мы пытались, хотя бы в общих чертах, понять, что произойдет, если принять, что вещество состоит из атомов, подчиняющихся тем или иным законам. Однако вещество обладает и такими свойствами, которые можно понять, не изучая подробно его строения. Поисками со­отношений между различными свойствами ве­щества, не углубляясь в изучение внутреннего его строения, занимается термодинамика. Ис­торически термодинамика стала наукой еще до того, как более или менее точно узнали о внутреннем строении вещества.

Приведем пример: согласно кинетической теории, давление газа вызывается молекуляр­ной бомбардировкой, и нам известно, что при нагревании газа бомбардировка усиливается и давление должно повыситься. И наоборот, если внутрь ящика с газом вдвигается поршень, преодолевающий сопротивление бомбардирую­щих его молекул, то энергия этих молекул возрастает, а соответственно повышается и температура. Итак, повышая температуру внут­ри заданного объема, мы увеличиваем давление. Если же мы сжимаем газ, то повышается его температура. Используя кинетическую теорию, можно найти количественные соотношения между этими двумя эффектами, однако каж­дому понятно, что между давлением и темпе­ратурой обязательно должна существовать не­которая связь, не зависящая от деталей столк­новений.

Рассмотрим еще один пример. Многим, наверное, известно интересное свойство ре­зины — если растянуть ее, она нагреется. Если вы зажмете губами резиновую полоску и, потянув рукой, рас­тянете ее, то отчетливо почувствуете, что она нагрелась. Это нагревание обратимо, т. е. если вы, продолжая держать полоску губами, быстро отпустите ее, то возникнет столь же отчетливое ощущение холода. Это означает, что при растяжении резина нагревается, а при ослаблении натяжения она охлаждается. Наш инстинкт может нам подсказать, что нагретая резина тянет лучше: если растяжение нагревает резину, то нагрева­ние заставит ее сжаться. Действительно, если поднести к растягиваемой грузиком резиновой полоске газовую горелку, то мы заметим, что полоска резко сократится (фиг. 44.1).

Фиг. 44. 1. Нагретая резина.

Таким образом, при нагревании натяжение в резине возра­стет, и это вполне согласуется с тем, что при уменьшении натяжения она остывает.

Скрытые в резине механизмы, управляющие этими эффек­тами, очень сложны. Мы опишем их с молекулярной точки зре­ния, хотя главная задача этой главы — научиться понимать связь между такими эффектами независимо от молекулярной модели. Тем не менее, именно исходя из молекулярной модели, мы можем показать, что оба эти явления тесно связаны. По­ведение резины можно объяснить так. Представьте себе, что резина, по существу, огромный клубок, состоящий из очень длинных молекул, что-то вроде «молекулярных макарон», но с небольшим дополнительным усложнением: между этими молекулярными цепочками имеются соединительные цепочки. Таким образом, моделью куска резины могут служить слип­шиеся во время варки макароны, образующие огромный ком. Когда мы растягиваем такой клубок, некоторые молекулярные цепи стремятся вытянуться в линию вдоль направления рас­тяжения. В то же время все цепи участвуют в тепловом дви­жении и непрерывно сталкиваются друг с другом. Поэтому такая цепь, когда ее растягивают, не остается в натянутом виде, так как об нее ударяют со всех сторон другие цепи и другие молекулы, и она будет вынуждена запутаться снова. Поэтому истинная причина того, почему резина все время стремится сократиться, заключается в следующем: при растяжении цепи действительно вытягиваются вдоль одной линии, но тепловые движения цепей стремятся запутать их снова и сократить их длину. Поэтому если растянуть цепи и увеличить температуру, то усилится и бомбардировка цепей, что приведет к увеличе­нию натяжения. Этим объясняется способность нагретой ре­зины поднять более тяжелый груз. Если растянутую в течение некоторого времени резину отпустить, то каждая цепь стано­вится мягче, ударяющиеся о расслабленные цепи молекулы теряют энергию, и температура падает.

Итак, мы видели, как кинетическая теория устанавливает связь между сокращением при нагревании и остыванием при расслаблении, но было бы чересчур сложно пытаться вывести методами кинетической теории точные соотношения между этими эффектами. Нам пришлось бы для этого выяснить, сколько столкновений происходит ежесекундно и как выглядят молекулярные цепи. И вообще всех трудностей просто не перечислить. Детали механизма столь сложны, что кинетическая теория не в состоянии описать в точности все происходящее. Однако можно вывести некоторые соотношения между этими эф­фектами, практически ничего не зная о внутреннем механизме!

Вся термодинамика сводится примерно к таким рассужде­ниям: раз резина при высокой температуре «сильнее», чем при низкой, то с помощью тепла можно совершать самые разнооб­разные работы, скажем подымать грузы и передвигать их на новое место. И действительно, мы уже убедились, что нагретая резина способна поднимать тяжести. С изучения возможности использования тепла для совершения работы и начинается термодинамика. Можно ли построить машину, в которой используются тепловые свойства резины? Да, только выглядеть она будет глуповато. Для этого можно немного усовершен­ствовать велосипедное колесо, вставив туда резиновые спицы (фиг. 44.2).

Фиг. 44.2. Тепловая машина с резиновыми спицами.

Если с помощью двух ламп накаливания нагреть резину на одной стороне колеса, то она станет «сильнее», чем не нагретая резина на другой стороне. Центр тяжести колеса сдвинется и отойдет от точки опоры. Колесо повернется. После поворота холодные резиновые спицы пододвинутся поближе к теплу, а нагретые уступят им свое теплое место и остынут. И колесо будет медленно вращаться, пока будут гореть лампы. Коэффициент полезного действия такой машины чрезвычайно мал. Для вращения колеса едва хватает содержащейся в двух лампах мощности около 400 вт, а способно оно поднять лишь блоху! Однако тут же возникает интересный вопрос: нельзя ли более эффективно перевести тепло в работу?

Собственно говоря, термодинамика ведет свое начало с работ знаменитого инженера Сади Карно, который желал построить наилучшую и наиболее экономичную машину. Это один из немногих замечательных случаев, когда инженер заложил основы физической теории. На память приходит еще один пример, но уже сравнительно недавний — это анализ теории информации, сделанный Клодом Шенноном. Кстати, эти вопросы тесно связаны.

В паровой машине тепло используется для кипячения воды. Образующийся пар, расширяясь, толкает поршень, а поршень крутит маховик. Итак, пар вытолкнул поршень до отказа — что дальше? Эта порция пара свою работу выполнила, однако самое неразумное было бы закончить цикл выпуском пара в атмосферу, тогда к паровому котлу придется вновь подводить воду. Дешевле, а значит, и эффективнее отводить пар в другой сосуд, где он будет конденсироваться холодной водой, и образующуюся при этом воду можно будет снова вернуть в паровой котел, обеспечив непрерывную циркуляцию. Таким образом, паровая машина поглощает тепло и превращает его в работу. А может быть, лучше залить котел спиртом? Какими свойствами должно обладать вещество, чтобы обеспечить наилучшую работу машины? Этот вопрос задавал себе Карно и, размышляя таким образом, как мы уже сказали, попутно открыл соотно­шение очень общего типа.

Все результаты термодинамики содержатся в нескольких предельно простых утверждениях, называемых законами тер­модинамики. Во времена Карно первый закон термодинамики — закон сохранения энергии —был еще не известен. Однако аргументы были сформулированы Карно так точно, что они оказались правильными, хотя первый закон тогда не был еще открыт! Немного позже Клаузиус привел более простой вывод, который понять оказалось легче, чем очень тонкие рассуждения Карно. Но Клаузиус исходил из предположения, что сохра­няется не полная энергия, а теплота; так считала в то время калорическая теория, которая впоследствии была вообще отвергнута как неверная. Поэтому часто говорят, что аргументы Карно были ложными. На самом же деле логика Карно безуко­ризненна. Неверно только упрощенное толкование этих аргу­ментов Клаузиусом, а именно с ним все обычно знакомятся.

Так случилось, что так называемый второй закон термоди­намики был открыт Карно раньше первого закона! Было бы очень интересно привести здесь аргументы Карно, не опира­ющиеся на первый закон. Но придется отказаться от этого, потому что мы изучаем физику, а не историю. С самого начала будем пользоваться первым законом, хотя многое можно было бы сделать и без него.

Сначала сформулируем первый закон, закон сохранения энергии: если нам дана система и мы подводим к ней тепло и производим над ней какую-то работу, то приращение энергии системы равно подведенному теплу и затраченной работе. Мы запишем все это так: к системе подводится тепло Q и над ней производится работа W, тогда энергия системы U возрастает; эту энергию иногда называют внутренней энергией. Связаны эти величины следующим соотношением:

Изменение U=Q+W. (44.1)

Изменение U можно получить, добавляя небольшое количе­ство тепла DQ и небольшую работу DW:

DU=DQ+DW. (44.2)

Это — дифференциальная форма того же закона. Все это мы уже хорошо знаем из предыдущей главы.

§ 2. Второй закон

А что такое второй закон термодинамики? Мы знаем, что если при работе приходится преодолевать трение, то потерян­ная работа равна выделившемуся теплу. Если мы преодолеваем трение в комнате при температуре Т и делаем это достаточно медленно, то температура в комнате изменится ненамного. Мы превращаем работу в тепло при постоянной температуре. Ну, а можно ли поступить наоборот? Сумеем ли мы каким-то спо­собом превратить тепло в работу при постоянной температуре? Второй закон термодинамики утверждает, что это невозможно. Было бы очень хорошо научиться превращать тепло в работу, изменив лишь направление процесса, похожего на трение. Если исходить только из закона сохранения энергии, можно считать, что тепловая энергия, например колебательная энер­гия молекул, способна служить удобным источником полезной энергии. Но Карно утверждал, что при постоянной температуре тепловую энергию нельзя извлечь из ее источника. Иначе говоря, если бы весь мир имел повсюду одинаковую температуру, то оказалось бы невозможным превратить тепловую энергию в работу. Хотя процессы, при которых работа пере­ходит в тепло, могут идти при постоянной температуре, не­возможно обратить их и вернуть работу обратно. Если говорить точно, Карно утверждал, что при постоянной температуре нель­зя извлечь тепло из его источника и превратить в работу, не производя больше никаких изменений в заданной нам системе или в окружающем пространстве.

Последняя фаза очень важна. Предположим, что в запаян­ном контейнере находится сжатый воздух при постоянной температуре; мы позволили ему расшириться. Такое устройство может совершать работу; оно может привести в движение пневматический молоток. При расширении, например, воздух чуть-чуть охлаждается, но если в нашем распоряжении очень большое море, огромный тепловой резервуар, то мы снова сможем нагреть его. Итак, мы взяли из моря (резервуара) тепло и произвели работу при помощи сжатого воздуха. Однако Карно не ошибся. Ведь мы не сумели оставить все в системе без изменения. Чтобы сжать снова воздух, которому мы позволили расшириться, нам понадобится произвести дополнитель­ную работу. Покончив с этим, мы обнаружим, что не только не смогли заставить систему работать при заданной температуре Т, но еще и сами вложили некую работу. Мы должны говорить только о таких случаях, когда полный результат всего про­цесса сводится к изъятию тепла и превращению его в работу, точно так же, как при преодолении трения конечный результат есть превращение работы в тепло. Если процесс сводится к движению по окружности, то систему можно вернуть точно в исходное положение, но конечным результатом этого процесса будет переход в тепло затраченной на преодоление трения работы. А можно ли обратить этот процесс? Повернуть, ска­жем, какую-нибудь ручку, чтобы все повернулось вспять, трение производило полезную работу, а моря остыли? Карно сказал, что этого не может быть. Давайте и мы предположим, что это невозможно.

Если бы это стало вдруг возможным, то это означало бы, что, помимо многих других полезных вещей, мы смогли бы, например, без всяких затрат отнять тепло у холодного тела и отдать его горячему. Между тем каждый знает, что тепло переходит от горячего тела к холодному.

Если мы просто приложим нагретое тело к холодному и боль­ше ничего делать не будем, то, насколько известно, горячее тело никогда не станет горячее, а холодное — холоднее! Но если бы мы смогли произвести работу, отобрав тепло, скажем, у океана или от чего-нибудь еще, не изменив его температуры, то эту работу можно было бы, призвав на помощь трение, снова превратить в тепло, но уже при другой температуре. Например, второе плечо нашей воображаемой машины может тереться обо что-то, что и так уже нагрелось. Полный результат про­цесса в этом случае сводится к охлаждению «холодного» тела, в нашем случае океана, и нагреванию горячих трущихся частей машины. Гипотезу Карно, второй закон термодинамики, иногда формулируют так: тепло не может перетечь само собой от холодного тела к горячему. Но мы только что убедились в эквивалентности этих утверждений. Повторим их снова. Пер­вое: нельзя осуществить процесс, единственным результатом которого является превращение тепла в работу при постоянной температуре. Второе: тепло не может перетечь само собой от холодного тела к горячему. Мы будем чаще пользоваться пер­вой формулировкой.

Анализ работы тепловой машины, проделанный Карно, весьма похож на то, что мы делали в гл. 4 (вып. 1), когда изу­чали подъемные машины и рассуждали о законе сохранения энергии. Более того, приведенные там аргументы подсказаны аргументами Карно о работе тепловых машин. Поэтому неко­торые рассуждения в этой главе покажутся вам уже знакомыми.

Предположим, что «котел» построенной нами тепловой машины поддерживается при температуре Т₁. За счет отнятого у котла тепла Q₁ пар совершил работу W и выделил в «конден­соре» тепло Q₂ [температура конденсора равна Т₂ (фиг. 44.3)].

Фиг. 44.3. Схема тепловой машины.

Карно не уточнил, чему равно это тепло, потому что не знал первого закона и не предполагал, что Q₂ равно Q₁ потому что не верил этому. Многие считали, что Q₁ и Q₂ одинаковы, так предписывала калорическая теория. Но Карно этого не предполагал, в этом одна из тонкостей его аргументов. Если же использовать первый закон, то мы найдем, что выде­ленное тепло Q₂ равно теплу Q₁ за вычетом совершенной работы:

Q₂=Q₁-W. (44.3)

(Если бы наш процесс был циклическим и сконденсированная вода поступала бы снова в котел, то после каждого цикла при заданном количестве участвующей в цикле воды поглощалось бы тепло Q₁ и производилась бы работа W.)

А теперь построим другую машину и посмотрим, не сможем ли мы совершить большую работу при том же количестве тепла, выделяемого при температуре T₁. В конденсоре будет поддерживаться та же температура Т₂. Мы используем то же тепло Q₁ из котла и попытаемся совершать большую работу, чем та, которая была произведена старой паровой машиной. Для этого, быть может, придется использовать другую жидкость, скажем спирт.

§ 3. Обратимые машины

Давайте разберемся в наших машинах получше. Одно из свойств всех машин нам уже известно. Если в машине есть трение, то неизбежны потери энергии. Наилучшей машиной была бы машина вообще без трения. Предположим, что мы имеем дело с теми же идеальными машинами, что и при изучении закона сохранения энергии, т. е. машинами, которым совсем не надо преодолевать трения.

А теперь обсудим аналог движения без трения — «лишенный трения» перенос тепла. Если мы приложим горячее тело к телу, обладающему более низкой температурой, то возникнет теп­ловой поток. Тепло течет от горячего тела к холодному, и, чтобы довернуть поток вспять, нужно слегка изменить темпе­ратуру какого-нибудь одного тела. Но машина, лишенная трения, будет под действием сколь угодно малой силы послушно двигаться туда, куда ей приказывают, а когда сила будет дей­ствовать в другую сторону, охотно последует за ней. Аналогом машины без трения может служить устройство, в котором бес­конечно малые изменения температуры могут повернуть тепло­вой поток вспять. Если разность температур конечна, то это невозможно. Но если тепло течет между двумя телами прак­тически при одинаковой температуре и достаточно бесконечно малого изменения температуры, чтобы поток повернул в любом направлении, то поток считается обратимым (фиг. 44.4).

Фиг. 44.4. Обрати­мый перенос тепла.

Если нагреть слегка левую половину тела, тепло потечет вправо; если чуть-чуть охладить левую половину, тепло устремится влево. Итак, оказалось, что идеальной машиной является так называемая обратимая машина, в которой любой процесс обратим в том смысле, что малейшие изменения условий работы могут заставить машину работать в обратном направлении. Это означает, что машина не должна ни в каком месте иметь трения; в такой машине не должно быть также места, где тепло резер­вуара или пар котла прямо соприкасались бы с какими-то более холодными или более горячими частями.

Займемся идеальной машиной, в которой обратимы все процессы. Чтобы показать, что создание такой машины в прин­ципе возможно, мы просто приведем пример рабочего цикла, причем нас не интересует возможность его практической реализации, достаточно того, что с точки зрения Карно он обратим.

Предположим, что в цилиндре, оборудованном поршнем без трения, имеется газ. Это не обязательно идеальный газ. Со­держимое цилиндра вообще не обязано быть газом. Но для определенности будем считать, что в цилиндре идеальный газ. Предположим еще, что имеются две тепловые подушки Т₁ и Т₂— два очень больших тела, поддерживаемых при опре­деленных температурах T₁ и Т₂ (фиг. 44.5).

Фиг. 44.5. Шаги цикла Карно.

а — шаг 1. Изотермическое расшире­ния при t₁, поглощается тепло Q₁; 6 — шаг 2. Адиабатическое расшире­ние; температура падает от T₁, до Т₂; в —шаг 3. Изотермическое сжа­тие при Т₂; выделяется тепло Q₂; г —шаг 4. Адиабатическое сжатие; температура поднимается от Т₂, до T₁.

Будем считать, что Т₁ больше Т₂. Для начала нагреем газ и, положив цилиндр на подушку T₁, позволим газу расшириться. Пусть по мере притока тепла в газ поршень очень медленно выдвигается из цилиндра. Тогда можно поручиться, что темпе­ратура газа не будет сильно отклоняться от Т₁. Если выдер­нуть поршень очень быстро, температура в цилиндре может упасть значительно ниже Т₁ и процесс уже нельзя будет счи­тать полностью обратимым. Если же мы будем медленно вы­таскивать поршень, температура газа останется близкой к температуре Т₁. С другой стороны, если поршень медленно вдвигать обратно в цилиндр, температура станет лишь чуть-чуть повыше температуры Т₁ и тепло потечет вспять. Вы видите, что такое изотермическое (при постоянной температуре) рас­ширение может быть обратимым процессом, если только произ­водить его медленно и осторожно.

Чтобы лучше понять, что происходит, нарисуем кривую зависимости давления газа от его объема (фиг. 44.6).

Фиг. 44.6. Цикл Карно.

Когда газ расширяется, его давление падает. Кривая 1 показывает, как изменяются объем и давление, если в цилиндре поддер­живается постоянная температура Т₁. Для идеального газа эта кривая описывается уравнением PV=NkT₁. Во время изотер­мического расширения по мере увеличения объема давление падает, пока мы не остановимся в точке b. За это время газ заберет из резервуара тепло Q₁, ведь мы уже знаем, что если бы газ расширялся, не соприкасаясь с резервуаром, он бы остыл. Итак, мы закончили расширение в точке b. Давайте теперь: снимем цилиндр с резервуара и продолжим расширение.

Но теперь теплу уже неоткуда взяться. И снова мы медленно выдвигаем поршень, так что нет причины, почему бы процесс мог быть необратимым. Конечно, мы опять предполагаем, что трения нет. Газ продолжает расширяться, и температура па­дает, потому что связь с источниками тепла прервана.

Будем расширять газ так, чтобы расширение описывалось кривой 2 до тех пор, пока мы не достигнем точки с, где температура упадет до T₂. Такое расширение без притока тепла называется адиабатическим. Мы уже знаем, что в случае иде­ального газа кривая 2 имеет вид PV^g=const, где g — постоян­ная, большая единицы; поэтому адиабатическая кривая падает круче изотермической. Если температура газа в цилиндре

достигла Т₂, то, положив цилиндр на вторую тепловую подушку, мы не рискуем вызвать температурных изменений.

Теперь можно медленно сжать газ, продвигаясь по кривой 3, причем цилиндр соприкасается с резервуаром при температуре t₂ (см. фиг. 44.5, шаг 2). Поскольку цилиндр соприкасается с резервуаром, его температура не может повыситься, но газу придется отдать резервуару тепло Q₂ при температуре T₂. Продвинувшись по кривой 3 до точки d, мы снова снимем цилиндр с тепловой подушки при температуре Т₂ и продолжаем сжимать газ. На этот раз мы не станем отбирать у газа тепло. При этом поднимется температура, а давление пойдет по кривой 4. Если мы тщательно проделаем все этапы, то вернемся к исходной точке а при температуре Т₁ и можем повторить цикл. По этой диаграмме судя, газ совершил полный цикл, отняв за это время тепло Q₁ при температуре T₁ и отдав тепло Q₂ нри температуре T₂. Этот цикл обратим, и поэтому мы можем шаг за шагом проделать весь путь в обратном направлении. Мы могли бы пойти назад, а не вперед, могли бы начать движение из точки а при температуре T₁, двигаться по кривой 4, затем поглотить тепло Q₂ при температуре T₂ (для этого надо все время выдвигать поршень) и т. д., пока цикл не будет завершен. Если мы совершали цикл в одном направлении, то заставили газ работать, если же нам захотелось повернуть назад, то придется поработать самим.

Между прочим, легко сосчитать полную работу. Полная работа, совершаемая при расширении, равна произведению давления на изменение объема: ∫PdV. На нашей диаграмме мы откладывали Р вертикально, а V горизонтально. Если обозначать вертикальное расстояние буквой у, а горизонталь­ное буквой х, то мы получим интеграл ∫ydx, а это — пло­щадь под кривой. Таким образом, площадь под каждой из пронумерованных кривых измеряет работу, совершенную либо газом, либо нами за соответствующий этап цикла. Легко по­нять, что чистый выход работы равен площади внутри кривых. Раз уж мы привели пример одной обратимой машины, то можно предположить, что возможно существование и других таких же устройств. Пусть обратимая машина А забирает Q₁ при T₁ совершает работу W и возвращает какое-то количество тепла при температуре Т₂. Предположим, что у нас есть еще одна машина В — творение рук человека, уже сконструиро­ванная, а может быть, еще и не изобретенная. Можно взять паровую машину, колесо с резиновыми спицами — словом, что угодно. Мы даже не интересуемся, обратима ли эта машина. Важно только, чтобы она забирала тепло Q_l при температуре Т₁ и возвращала часть этого тепла при более низкой темпера­туре Т₂. Предположим, что машина В совершает некую работу W'. Теперь покажем, что W' не может быть больше W; нет такой машины, которая работала бы лучше, чем обра­тимая. Но почему? Предположим, что W' больше W. Тогда мы можем забрать тепло Q₁ при температуре Т₁ и отдать его машине В. Эта машина совершит работу W' и отдаст какое-то количество тепла (неважно какое) резервуару с температурой Т₂. После этого мы можем распорядиться какой-то частью работы W', которую мы считаем больше W. Прибережем пока часть работы W, а остаток W'-W употребим с пользой для себя (фиг. 44.7).

Фиг. 44.7. Машина В застав­ляет работать обратимую ма­шину А в обратном направлении.

Обладая работой W, можно запустить машину А в обратном направлении, ведь это — обратимая машина. При этом она поглотит какое-то количество тепла из резервуара с температурой Т₂, но зато вернет тепло Q₁ резервуару при темпе­ратуре Т₁. Каков чистый результат этого двойного цикла? Мы вернули все к исходному состоянию и совершили дополнитель­ную работу W'-W. Дело свелось к тому, что мы извлекли энергию из резервуара с температурой Т₂! Тепло Q₁, взятое из резервуара с температурой T₁ , было аккуратно возвращено. Раз это тепло все равно возвращается, то в качестве резервуара с температурой Т₁ можно взять что-нибудь поменьше океана и заключить это устройство внутрь составной машины А+В. Чистым результатом цикла такой машины будет изъятие из резервуара при температуре Т₂ тепла W'-W и превращение его в работу. Но извлечение полезной работы из резервуара при неизменной температуре без других изменений запрещается постулатом Карно. Этого нельзя сделать. Таким образом, не существует таких машин, которые извлекли бы некоторое количество тепла из резервуара при температуре Т₁, возвратили бы какую-то его часть при температуре Т₂ и совершили боль­шую работу, чем обратимая машина, работающая при тех же самых температурных условиях.

Предположим теперь, что машина В тоже обратима. Тогда, конечно, не только W' не больше W, но и W не больше W'. Чтобы доказать это, надо просто обратить предыдущие аргу­менты. Итак, если обе машины обратимы, то они должны производить одинаковую работу, и мы пришли к блестящему выводу Карно: если машина обратима, то безразлично, как она умудряется превращать тепло в работу. Произведенная машиной работа, если только машина поглощает определенное количество тепла при температуре Т₁ и возвращает какую-то его часть при температуре Т₂, не зависит от устройства ма­шины. Так уж устроен мир, и от частных свойств машины это не зависит.

Если бы мы нашли закон, определяющий работу, со­вершаемую при изъятии тепла Q₁ при температуре Т₁ и возвращении части этого тепла при температуре T₂, то эта величина была бы универсальной постоянной, не зависящей от свойств вещества. Конечно, если нам известны свойства какого-нибудь вещества, мы можем вычислить интересующую нас величину. После этого мы будем вправе заявить, что все остальные вещества, если с их помощью построить обратимую машину, произведут точно такую же работу. Такова основная идея, ключ, с помощью которого мы можем найти последующие соотношения. Например, мы хотим узнать, насколько резина сжимается при нагревании и насколько она остывает, когда мы позволяем ей сжаться. Предположим, что мы взяли резину в качестве рабочего вещества обратимой машины и совершили обратимый цикл. Чистый результат, полная произведенная работа,— это универсальная функция, великая функция, не зависящая от свойств вещества. Таким образом, мы убежда­емся, что есть нечто, ограничивающее в известном роде разно­образие свойств вещества. Мы не можем сделать эти свойства какими захотим, не можем изобрести вещество, которое, будучи использованным в тепловой машине, произвело бы за обратимый цикл работу больше допустимой. Этот принцип, это ограни­чение,— единственное реальное правило, которое можно вы­вести из термодинамики.

§ 4. Коэффициент полезного действия идеальной машины

А сейчас попробуем найти закон, определяющий работу W как функцию Q₁, Т₁ и Т₂ . Ясно, что W пропорционально Q₁, ибо если две обратимые машины работают в параллель, то такая сдвоенная машина тоже будет обратимой машиной. Если каждая из этих машин поглощает тепло Q₁, то обе сразу поглощают 2Q₁, а работа, которую они совершают, равна 2 W и т. д. Поэтому пропорциональность W затраченному теплу Q₁ вполне естественна.

После этого сделаем еще один важный шаг к универсальному закону. В качестве рабочего вещества машины можно взять одно вещество с хорошо известными нам свойствами. Восполь­зуемся этим и выберем идеальный газ. Можно и не делать этого, а вывести интересующее нас правило чисто логически, совсем не используя для этого какого-то вещества. Это одно из самых блестящих теоретических доказательств в физике, но пока мы используем менее абстрактный и более простой метод прямого вычисления.

Нам нужно лишь получить формулы для Q₁ и Q₂ (ведь W=Q₁-Q₂) — тепла, которым машина обменивается с резерву­арами во время изотермического расширения и сжатия. Для примера вычислим Q₁— тепло, полученное от резервуара при температуре T₁ во время изотермического расширения (кривая 1 на фиг. 44.6) от точки а, где давление равно p_a, объем V_a, тем­пература Т₁, до точки b, где давление равно р_b, объем V_b, а тем­пература та же самая T₁. Энергия каждой молекулы идеального газа зависит только от температуры, а поскольку в точках а и b одинаковы и температура, и число молекул, то и внутренняя энергия тоже одинакова. Энергия U не изменяется; полная рабо­та газа в период расширения

W=_a^b∫pdV

а

совершается за счет энергии Q₁ , полученной из резервуара. Во время расширения pV=NkT₁ или

p-NkT₁/V; значит,

т. е.

Q₁=NkT₁ln(V_b/V_a).

Вот то тепло, которое взято из резервуара при температуре Т₁. Точно так же можно вычислить и тепло, отданное при сжатии (кривая 3 на фиг. 44.6) резервуару при температуре T₂:

Q₂=NkT₂ln(V_c/V_d). (44.5)

Чтобы закончить анализ, нужно еще найти соотношение между V_c/V_d и V_b/V_a. Для этого взглянем сначала на кривую 2, которая описывает адиабатическое расширение от b до c. В это время pV^g остается постоянным. Поскольку pV=NkT, то фор­мулу для адиабатического расширения в конечных точках пути можно записать в виде (pV)V^g-1=const, или TV^g-1=const, т. е.

T₁V_b^g-1=T₂V_c^g-1. (44.6)

Так как кривая 4 описывает адиабатическое сжатие от d до а, то

Т₁V_a^g-1=T₂V_d^g-1. (44.6а)

Если поделить эти равенства одно на другое, то мы выясним, что отношения V_b/V_a и V_c/V_d равны, поэтому равны и лога­рифмы в (44.4) и (44.5). Значит,

Q₁/T₁=Q₂/T₂. (44.7)

Это и есть то соотношение, которое мы искали. Хотя оно дока­зано для машины с идеальным газом, мы уже знаем, что оно справедливо для любой обратимой машины.

А теперь посмотрим, как можно вывести этот универсальный закон на основании только логических аргументов, не интере­суясь частными свойствами веществ. Предположим, что у нас есть три машины и три температуры Т₁, Т₂ и Т₃. Одна машина поглощает тепло Q₁ при температуре T₁, производит работу W₁₃ и отдает тепло Q₃ при температуре T₃ (фиг. 44.8).

Фиг. 44.8. Спаренные машины 1 и 2 эквивалентны машине 3.

Другая машина работает при перепаде температур t₂ и Т₃. Предположим, что эта машина устроена так, что она поглощает то же тепло Q₃ при температуре Т₃ и отдает тепло Q₂. Тогда нам придется затратить работу W₃₂, ведь мы заставили машину работать в обратном направлении. Цикл первой машины заклю­чается в поглощении тепла Q₁ и выделении тепла Q₃ при тем­пературе Т₃. Вторая машина в это время забирает из резер­вуара то же самое тепло Q₃ при температуре T₃ и отдает его в резервуар с температурой Т₂. Таким образом, чистый резуль­тат цикла этих спаренных машин состоит в изъятии тепла Q_l при температуре Т₁ и выделении тепла Q₂ при температуре T₂. Эти машины эквивалентны третьей, которая поглощает тепло Q_l при температуре Т₁, совершает работу W₁₂ и выделяет тепло Q₂ при температуре Т₂. Действительно, исходя из первого за­кона, можно сразу же показать, что W₁₂=W₁₃-W₃₂:

W₁₃-W₃₂=(Q₁-Q₃)=(Q₂-Q₃)=Q₁-Q₂=W₁₂ . (44.8)

Теперь можно получить закон, связывающий коэффициенты полезного действия машин. Ведь ясно, что между эффективностями машин, работающих при перепаде температур Т₂-T₃, t₂-Т₃ и Т₁-Т₂, должны существовать определенные соотно­шения.

Сформулируем пояснее наши аргументы. Мы убедились, что всегда можем связать тепло, поглощенное при температуре T₁ и тепло, выделенное при температуре T₂, определив тепло, выделенное при какой-то другой температуре T₃. Это значит, что мы можем описать все свойства машины, если введем стан­дартную температуру и будем анализировать все процессы с помощью именно такой стандартной температуры. Иначе говоря, если мы знаем коэффициент полезного действия машины, рабо­тающей между температурой Т и какой-то стандартной темпе­ратурой, то сможем вычислить коэффициент полезного действия машины, работающей при любом перепаде температур. Ведь мы рассматриваем только обратимые машины, поэтому ничто не мешает нам спуститься от начальной температуры к стандарт­ной, а потом снова вернуться к конечной температуре. Примем температуру в один градус за стандартную. Для обозначения выделяемого при стандартной температуре тепла используем особый символ Q_s. Это значит, что если машина поглощает при температуре Т тепло Q, то при температуре в один градус она выделяет тепло Q_S. Если какая-то машина, поглощая тепло Q₁ при T₁, выделяет тепло Q_S при температуре в один градус, а другая машина, поглотив тепло Q₂ при Т₂, выделяет то же самое тепло Q_S при температуре в один градус, то машина, поглощающая Q₁ при Т₁ , должна при температуре Т₂ выделять тепло Q₂. Мы уже доказали это, рассмотрев три машины, ра­ботающие при трех температурах. Таким образом, для полного описания работы машин нам остается узнать совсем немного. Мы должны выяснить, сколько тепла Q₁ должна поглотить ма­шина при температуре T₁ , чтобы выделить при единичной тем­пературе тепло Q_S. Конечно, между теплом Q и температурой Т существует зависимость. Легко понять, что тепло должно воз­растать при возрастании температуры, ведь мы знаем, что если заставить работать машину в обратном направлении, то при более высокой температуре она отдает тепло. Легко также по­нять, что тепло Q₁ должно быть пропорционально Q_S. Таким образом, наш великий закон выглядит примерно так: Каждому количеству тепла Q_S, выделенного при температуре в один градус, соответствует количество тепла, поглощенного машиной при температуре Т, равное Q_S, умноженному на не­которую возрастающую функцию Q температуры:

Q=Q_Sf(T). (44.9)

§ 5. Термодинамическая температура

Пока мы не будем делать попыток выразить эту возрастаю­щую функцию в терминах делений знакомого нам ртутного гра­дусника, а взамен определим новую температурную шкалу. Когда-то «температура» определялась столь же произвольно. Мерой температуры служили метки, нанесенные на равных расстояниях на стенках трубочки, в которой при нагревании расширялась вода. Потом решили измерить температуру ртут­ным термометром и обнаружили, что градусные расстояния уже не одинаковы. Сейчас мы можем дать определение температуры, не зависящее от каких-либо частных свойств вещества. Для этого мы используем функцию f(T), которая не зависит ни от одного устройства, потому что эффективность обратимых машин не зависит от их рабочего вещества. Поскольку найденная нами функция возрастает с температурой, то мы можем считать, что она сама по себе измеряет температуру, начиная со стандартной температуры в один градус. Для этого надо только договориться, что

Q=Q_ST, (44.10)

а

Q_S=S•1°. (44.11)

Это означает, что теперь мы можем найти температуру тела, определив количество тепла, которое поглощается обратимой машиной, работающей в интервале между температурой тела и температурой в один градус (фиг. 44.9)

Фиг. 44.9. Абсолютная термо­динамическая температура.

Если машина забирает из котла в семь раз больше тепла, нежели поступает в одно­градусный конденсор, то температура котла равна семи граду­сам и т. д. Таким образом, измеряя количество тепла, погло­щаемого при разных температурах, мы определяем температуру. Полученная таким образом температура называется абсолютной термодинамической температурой и не зависит от свойств ве­щества. Теперь мы будем пользоваться исключительно этим определением температуры.

Теперь нам ясно, что если у нас имеются две машины, из коих одна работает при перепаде температур Т₁ и один градус, а другая — T₂ и один градус, и обе они выделяют при единичной температуре одинаковое количество тепла, то поглощаемое ими тепло должно удовлетворять соотношению

q₁/t₁=s=q₂/t₂. (44.12)

Но это означает, что если какая-нибудь обратимая машина по­глощает тепло q₁ при температуре Т₁, а выделяет тепло Q₂ при температуре Т₂, то отношение Q₁ к T₁ равно отношению Q₂ к T₂. Это справедливо для любой обратимой машины. Все, что будет дальше, содержится в этом соотношении: это центр тер­модинамической науки.

Но если это все, что есть в термодинамике, то почему же ее считают такой трудной наукой? А попробуйте описать поведение какого-нибудь вещества, если вам даже заранее известно, что масса вещества все время постоянна. В этом случае состояние вещества в любой момент времени определяется его температу­рой и объемом. Если известны температура и объем вещества, а также зависимость давления от объема и температуры, то можно узнать и внутреннюю энергию. Но кто-нибудь скажет: «А я хочу поступить иначе. Дайте мне температуру и давление и я скажу вам, каков объем. Я могу считать объем функцией температуры и давления и искать зависимость внутренней энер­гии именно от этих переменных». Трудности термодинамики связаны именно с тем, что каждый может подойти к задаче с того конца, с какого вздумает. Нужно только сесть и выбрать опре­деленные переменные, а потом уж твердо стоять на своем, и все станет легко и просто.

Сейчас приступим к выводам. В механике мы подошли ко всем нужным нам результатам, исходя из центра механического мира F=ma. Такую же роль в термодинамике сыграет только что найденный нами принцип. Но какие выводы можно сделать, исходя из этого принципа?

Ну начнем. Сначала скомбинируем закон сохранения энер­гии и закон, связывающий Q₁ и Q₂, чтобы найти коэффициент полезного действия обратимой машины. Первый закон говорит, что W=Q₁-Q₂. Согласно нашему новому принципу,

Q₂=(T₂/T₁)Q₁. Поэтому работа равна

W=Q₁(l-T₂/T₁) =Q₁(T₁-T₂)/T₁. (44.13)

Это соотношение характеризует эффективность машины, т. е. количество работы, произведенное при заданной затрате тепла. Коэффициент полезного действия пропорционален перепаду температур, при котором работает машина, деленному на более высокую температуру:

К.п.д. =W/Q₁=(T₁-T₂)/T₁. (44.14)

Коэффициент полезного действия не может быть больше едини­цы, а абсолютная температура не может быть меньше нуля, аб­солютного нуля. Таким образом, раз t₂ должна быть положи­тельной, то коэффициент полезного действия всегда меньше единицы. Это наш первый вывод.

§ 6. Энтропия

Уравнение (44.7) или (44.12) может быть истолковано особо. При работе обратимых машин Q₁/T₁=Q₂/T₂, и тепло Q₁ при температуре Т₁ «эквивалентно» теплу Q₂ при температуре T₂; ведь если поглощается Q₁ то всегда выделяется тепло Q₂. Если теперь придумать для Q/T особое название, то можно сказать, что при обратимых процессах поглощается столько же Q/T, сколько и выделяется. Иначе говоря, Q/T не убывает и не при­бывает. Эта величина Q/T называется энтропией, и мы говорим, что «за обратимый цикл изменение энтропии равно нулю». Если T=1°, то энтропия равна Q/1°; мы уже снабдили энтропию особым символом S=Q_S/1°. Энтропия повсюду обозначается буквой S, а численно она равна теплу (которое мы обозначили буквой Q_S), выделяемому в одноградусном резервуаре (энтропия не равна просто теплу, это тепло, деленное на температуру, и измеряется она в джоулях на градус).

Интересно, что, кроме давления, которое зависит от темпе­ратуры и объема, и внутренней энергии (функции все тех же объема и температуры), мы нашли еще величину — энтропию вещества, которая тоже является функцией состояния. Поста­раемся объяснить, как вычислять энтропию и что мы понимаем под словами «функция состояния». Проследим за поведением системы в разных условиях. Мы уже умеем создавать разные условия экспериментально, например можно заставить систему расширяться адиабатически или изотермически. (Между про­чим, машина не обязательно должна иметь только два резер­вуара, может быть и три, и четыре различные температуры, и ма­шина будет обмениваться теплом с каждым из резервуаров.) Мы можем прогуляться по всей диаграмме pV, переходя от одно­го состояния к другому. Иначе говоря, можно перевести газ из состояния а в какое-нибудь другое состояние b и потребо­вать, чтобы переход из а в b был обратимым. Теперь предположим, что вдоль пути из а в b поставлены маленькие резервуары с разными температурами. Тогда каждый короткий шажок будет сопровождаться изъятием из вещества тепла dQ и передачей его в резервуар при температуре, соответствующей данной точке пути. Давайте свяжем все эти резервуары с помощью обратимых тепловых машин с одним резервуаром единичной температуры. После того как мы закончим перевод вещества из состояния а в состояние b, мы вернем все резервуары в их первоначальное состояние. Обратимая машина вернет каждую дольку тепла dQ, изъятого из вещества при температуре Т, и каждый раз при единичной температуре будет выделяться энтропия dS, равная

dS=dQ/T. (44.15)

Подсчитаем полное количество выделенной энтропии. Раз­ность энтропии, или энтропия, нужная для перехода из а в b в результате какого-нибудь обратимого изменения, это — пол­ная энтропия, т. е. энтропия, взятая из маленьких резервуаров и выделенная при единичной температуре:

Вопрос заключается в том, зависит ли разность энтропии от пути в плоскости pV? Из а b ведет много дорог. Вспомним, что в цикле Карно мы могли перейти из точки а в точку с (см. фиг. 44.6) двумя способами. Можно было расширить газ сначала изотермически, а потом адиабатически, а можно было начать с адиабатического расширения и окончить изотермическим. Итак, мы должны выяснить, меняется ли энтропия при изме­нении пути из а в b (фиг. 44.10).

Фиг. 44.10. Изменение энтропии при обрати­мом переходе.

Она не должна измениться, потому что если мы совершим полный цикл, выйдя из а в b по одному пути и возвратясь по другому, то это путешествие будет эквивалентно полному циклу обратимой машины. При таком цикле никакого тепла не передается одноградусному резервуару.

Поскольку мы не имеем права взять тепло из одноградусного резервуара, то при каждом путешествии из а в b приходится обходиться одним и тем же количеством энтропии. Это коли­чество не зависит от пути, существенны только конечные точки. Таким образом, можно говорить о некоторой функции, которую мы назвали энтропией вещества. Эта функция зависит только от состояния вещества, т. е. только от объема и температуры.

Можно найти функцию S(V, Т). Мы подсчитаем изменение энтропии при обратимых изменениях вещества, следя за теплом, выделяемым в одноградусном резервуаре. Но это изменение можно выразить еще в терминах тепла dQ, изымаемого у веще­ства при температуре Т:

DS=∫dQ/T. (44.17)

Полное изменение энтропии равно разности энтропии в конеч­ной и начальной точках пути:

Это выражение не определяет энтропию полностью. Пока из­вестна лишь разность энтропии в двух разных состояниях. Опре­делить энтропию абсолютно можно только после того, как мы сумеем вычислить энтропию одного какого-нибудь состояния.

Очень долго считалось, что абсолютная энтропия — это вообще ничего не значащее понятие. Но в конце концов Нернст высказал утверждение, названное им тепловой теоремой (иногда его называют третьим законом термодинамики). Смысл ее очень прост. Сейчас мы сообщим эту теорему, не объясняя, почему она верна. Постулат Нернста утверждает просто, что энтропия всякого тела при абсолютном нуле равна нулю. Тёперь мы знаем, при каких Т и V (при T=0) энтропия равна нулю, и сможем вычислить энтропию в любой другой точке.

Чтобы проиллюстрировать эту идею, давайте вычислим энтропию идеального газа. При изотермическом (а следователь­но, обратимом) расширении ∫dQ/T равен просто Q/T, потому

что Т постоянная. Таким образом, согласно (44.4), изменение энтропии равно

S(V_a,T)-S(V_b,T)=Nkln(V_a/V_b),

так что S(V,T)=NklnV плюс функция одной только температу­ры. А как S зависит от T? Мы уже знаем, что при адиабатиче­ском расширении теплообмена нет. Таким образом, энтропия остается постоянной, хотя объем V изменяется, заставляя изменяться Т (чтобы сохранить равенство TV^g-1=const). Ясно ли вам после этого, что

где а — постоянная, не зависящая ни от V, ни от Т? [Постоян­ная а называется химической постоянной. Она зависит от свой­ств газа, и ее можно определить экспериментально в соответствии с теоремой Нернста. Для этого надо измерить тепло, выделяемое газом при его охлаждении и конденсации до превращения его при 0° в твердое тело (гелий и при этой температуре остается

жидким). Потом надо найти интеграл ∫dQ/T. Можно найти а и

теоретически; для этого понадобятся постоянная Планка и кван­товая механика, но в нашем курсе этого мы не будем касаться.]

Отметим некоторые свойства энтропии. Сначала вспомним, что на участке обратимого цикла между точками а и b энтропия меняется на S_b-S_a (фиг. 44.11).

Фиг. 44.11. Изменение энтропии за полный об­ратимый цикл. Полное изменение энтропии равно нулю.

Вспомним еще, что по мере продвижения вдоль этого пути энтропия (тепло, выделяемое при единичной температуре) возрастает в согласии с правилом dS=dQ/T, где dQ — тепло, изъятое из вещества при темпе­ратуре Т.

Мы уже знаем, что после обратимого цикла полная энтропия всего, что включается в процесс, не изменяется. Ведь тепло Q₁, поглощенное при T₁, и тепло Q₂, выделенное при Т₂, вносят в энтропию равные по величине, но противоположные по знаку вклады. Поэтому чистое изменение энтропии равно нулю. Таким образом, при обратимом цикле энтропия всех участников цикла, включая резервуары, не изменяется. Это правило как будто похоже на закон сохранения энергии, но это не так. Оно применимо только к обратимым циклам. Если перейти к необ­ратимым циклам, то закона сохранения энтропии уже не суще­ствует.

Приведем два примера. Для начала предположим, что какая-то машина с трением производит необратимую работу, выделяя тепло Q при температуре Т. Энтропия возрастет на Q/Т. Тепло Q равно затраченной работе, и когда мы производим какую-то работу с помощью трения о какой-то предмет, температура ко­торого равна Т, то энтропия возрастает на величину W/Т.

Другой пример необратимости: если приложить друг к другу два предмета с разными температурами, скажем Т₁ и Т₂, то от одного предмета к другому перетечет некоторое количество тепла. Предположим, например, что мы бросили в холодную воду горячий камень. Насколько изменяется энтропия камня, если он отдает воде тепло DQ при температуре _T1? Она умень­шается на A DQ/T₁. А как изменяется энтропия воды? Она возра­стет на DQ/T₂. Тепло, конечно, может перетечь только от более высокой температуры Т₁ к более низкой Т₂. Поэтому если T₁ больше Т₂, то DQ положительно. Таким образом, изменение энтропии положительно и равно разности двух дробей:

Ds=Dq/t₂-Dq/t₁. (44.19)

Итак, справедлива следующая теорема: в любом необратимом процессе энтропия всего на свете возрастает. Только обратимые процессы могут удержать энтропию на одном уровне. А по­скольку абсолютно необратимых процессов не существует, то энтропия всегда понемногу растет. Обратимые процессы — это идеализированные процессы с минимальным приростом энтропии.

К сожалению, нам не придется углубиться в область термо­динамики. Наша цель лишь проиллюстрировать основные идеи этой науки и объяснить причины, по которым возможно осно­вываться на этих аргументах. Но в нашем курсе мы не будем часто прибегать к термодинамике. Термодинамикой широко пользуются в технике и в химии. Поэтому с термодинамикой вы практически познакомитесь в курсе химии или технических наук. Ну а дублировать нет смысла, и мы ограничимся лишь не­которым обзором природы теории и не будем вдаваться в детали для специальных ее применений.

Два закона термодинамики часто формулируют так:

Первый закон: Энергия Вселенной всегда постоянна. Второй закон: Энтропия Вселенной всегда возрастает.

Это не слишком хорошая формулировка второго закона. В ней ничего не говорится, например, о том, что энтропия не из­меняется после обратимого цикла и не уточняется само понятие энтропии. Просто это легко запоминаемая форма обоих законов, но из нее нелегко понять, о чем собственно идет речь.

Все законы, о которых сейчас шла речь, мы собрали в табл. 44.1. А в следующей главе мы используем эту сводку за­конов, чтобы найти соотношение между теплом, выделяемым резиной при растяжении, и дополнительным натяжением рези­ны при ее нагревании.

Таблица 44. 1 • ЗАКОНЫ ТЕРМОДИНАМИКИ

* Раньше мы определяли температурную шкалу иначе. Мы утверждали, что средняя кинетическая энергия молекулы идеального газа пропорциональна температуре или, согласно закону идеального газа, что pV пропорционально Т. Эквивалентно ли это новому определению? Да. Ведь окончательный результат (44.7), выведенный из закона идеаль­ного газа, совпадает с приведенным здесь результатом. Мы еще поговорим об этом в следующей главе.