§ 1.Закон Гука

§ 2.Однородная деформация

§ 3. Кручение стержня; волны сдвига

§ 4.Изгибание балки

§ 5.Продольный изгиб

Повторить: гл. 47 (вып. 4) «Звук, волновое уравнение»

§ 1. Закон Гука

Теория упругости занимается поведением таких тел, которые обладают свойством восста­навливать свой размер и форму после снятия деформирующих сил. В какой-то степени этими упругими свойствами обладают все твердые тела. Если бы у нас было время заниматься этим предметом подольше, то нам пришлось бы рассмотреть множество вопросов: поведение напряженных материалов, законы упругости и общая теория упругости, атомный механизм, определяющий упругие свойства, и, наконец, ограничения на законы упругости, когда силы становятся настолько велики, что возникает пластическое течение и разрушение. Детальное рассмотрение всех этих вопросов потребовало бы гораздо больше времени, чем мы распола­гаем, поэтому кое от чего нам придется отка­заться. Например, мы не будем обсуждать воп­росы пластичности и ограничений на законы упругости. (Этого мы коснемся только очень кратко, когда у нас речь пойдет о дислокациях в металлах.) Мы не сможем также обсудить механизм упругости, так что наше исследова­ние не будет обладать той полнотой, к которой мы стремились в предыдущих главах. Основная цель лекции — познакомить вас с некоторыми способами обращения с такими практическими задачами, как, например, задача об изгибании бруска.

Если вы надавите на кусок материала, то материал «поддастся» — он деформируется. При достаточно малых силах относительное переме­щение различных точек материала пропорцио­нально силе. Такое поведение называется уп­ругим. Мы будем говорить только о таком упругом поведении. Сначала мы выпишем фундаментальный закон упругости, а затем применим его к нескольким различным си­туациям.

Предположим, что мы взяли прямоугольный брусок длиной l, шириной w и высотой h (фиг. 38.1).

Фиг. 38.1. Растяжение бруска под действием однородной нагрузки.

Если мы потянем за его конец с силой F, то его длина увеличится на Dl. Во всех случаях мы будем предполагать, что изменение длины составляет малую долю от первоначальной. На самом деле материалы, подобные стали или дереву, разрушаются еще до того, как изменение длины достигнет нескольких процентов от первоначального значения. Опыты показывают, что для большого числа мате­риалов при достаточно малых удлинениях сила пропорцио­нальна удлинению

F~Dl. (38.1)

Это соотношение известно как закон Гука.

Удлинение бруска Dl зависит и от его длины. Это можно про­демонстрировать следующими рассуждениями. Если мы скре­пим вместе два одинаковых бруска конец к концу, то на каж­дый будет действовать одна и та же сила и каждый из них удли­нится на Dl. Таким образом, удлинение бруска длиной 2l бу­дет в два раза больше удлинения бруска того же поперечного сечения, но длиной l. Чтобы получить величину, полнее харак­теризующую сам материал и менее зависящую от формы образ­ца, будем оперировать отношением Dl/l (удлинение к перво­начальной длине). Это отношение пропорционально силе, но не зависит от l:

F~Dl/l (38.2)

Сила F зависит также от площади сечения бруска. Предпо­ложим, что мы поставили два бруска бок о бок. Тогда для дан­ного удлинения Dl мы должны приложить силу F к каждому бруску, или для комбинации двух брусков требуется вдвое большая сила. При данной величине растяжения сила должна быть пропорциональна площади поперечного сечения бруска А. Чтобы получить закон, в котором коэффициент пропорциональ­ности не зависит от размеров тела, мы для прямоугольного бруска будем писать закон Гука в виде

F=YA(Dl/l) (38.3)

Постоянная Y определяется только свойствами природы ма­териала; ее называют модулем Юнга. (Обычно модуль Юнга обозначается буквой Е, но эту букву мы уже использовали для электрического поля, для энергии и для э. д. с., так что теперь лучше взять другую.)

Силу, действующую на единичной площади, называют на­пряжением, а удлинение участка, отнесенное к его длине, т. е. относительное удлинение называют деформацией. Уравне­ние (38.3) можно переписать следующим образом;

F/A =YXDl/l. (38.4)

Напряжение=(Модуль Юнга)X(Деформация).

При растяжении, подчиняющемуся закону Гука, возникает еще одно осложнение: если брусок материала растягивается в одном направлении, то под прямым углом к растяжению он сжимается. Уменьшение толщины пропорционально самой толщине w и еще отношению Dl/l. Относительное боковое сжатие одинаково как для ширины, так и для его высоты и обычно за­писывается в виде

где постоянная s характеризует новое свойство материала и называется отношением Пуассона. Это число положительное до знаку, по величине меньше ¹/₂. (То, что постоянная о в об­щем случае должна быть положительной, «разумно», но ниотку­да не следует, что она должна быть такой.)

Две константы Y и s полностью определяют упругие свой­ства однородного изотропного (т. е. некристаллического) мате­риала. В кристаллическом материале растяжение и сокращение в разных направлениях может быть различным, поэтому и упру­гих постоянных может быть гораздо больше. Временно мы ог­раничим наши обсуждения однородными изотропными материа­лами, свойства которых могут быть описаны постоянными s и Y. Как обычно, существует множество способов описания свойств.

Некоторым, например, нравится описывать упругие свойст­ва материалов другими постоянными. Но таких постоянных всегда берется две, и они могут быть связаны с нашими s и Y.

Последний общий закон, который нам нужен,— это принцип суперпозиции. Поскольку оба закона (38.4) и (38.5) линейны в отношении сил и перемещений, то принцип суперпозиция будет работать. Если при одном наборе сил вы получаете неко­торое дополнительное перемещение, то результирующее пере­мещение будет суммой перемещений, которые бы получились при независимом действии этих наборов сил.

Теперь мы имеем все необходимые общие принципы: прин­цип суперпозиции и уравнения (38.4) и (38.5), т. е. все, что нуж­но для описания упругости. Впрочем, с таким же правом можно было заявить: у нас есть законы Ньютона, и это все, что нужно для механики. Или, задавшись уравнениями Максвелла, мы имеем все необходимое для описания электричества. Оно, ко­нечно, так; из этих принципов вы действительно можете полу­чить почти все, ибо ваши теперешние математические возмож­ности позволяют вам продвинуться достаточно далеко. Но мы все же рассмотрим лишь некоторые специальные приложения.

§ 2. Однородная деформация

В качестве первого примера посмотрим, что происходит с пря­моугольным бруском при однородном гидростатическом сжатии. Давайте поместим брусок в резервуар с водой. При этом воз­никнет сила, действующая на каждую грань бруска и пропор­циональная его площади (фиг. 38.2).

Фиг. 38.2. Брусок под действием равномерного гидростатического давления.

Поскольку гидростатиче­ское давление однородно, то напряжение (сила на единичную площадь) на каждой грани бруска будет одним и тем же. Прежде всего найдем изменение длины бруска. Его можно рассматри­вать как сумму изменений длин, которые происходили бы в трех независимых задачах, изображенных на фиг. 38.3.

Фиг. 38.3. Гидростатическое давление равно суперпозиции трех сжатий.

Задача 1. Если мы приложим к концам бруска давление р, то деформация сжатия будет отрицательна и равна p/Y:

Задача 2. Если мы надавим на горизонтальные грани бруска, то деформация по высоте будет равна -p/Y, а соответствующая деформация в бо­ковом направлении будет +sp/Y. Мы получаем

Задача 3. Если мы прило­жим к сторонам бруска дав­ление р, то деформация дав­ления снова будет равна p/Y, но теперь нам нужно определить деформацию длины. Для этого боковую деформа­цию нужно умножить на -s. Боковая деформация равна

так что

Комбинируя результаты этих трех задач, т. е. записывая Dl как dl₁+Dl₂+Dl₃, получаем

Задача, разумеется, симметрична во всех трех направлениях, поэтому

Интересно также найти изменение объема при гидроста­тическом давлении. Поскольку V=lwh, то для малых пере­мещений можно записать

Воспользовавшись (38.6) и (38.7), мы имеем

Имеются любители назы­вать DV/V объемной де­формацией и писать

Объемное напряжение р (гидростатическое давление) пропор­ционально вызванной им объемной деформации — снова закон Гука. Коэффициент К называется объемным модулем и связан с другими постоянными выражением

Поскольку коэффициент К представляет некоторый практиче­ский интерес, то во многих справочниках вместо Y и s приво­дятся У и К. Но если вам нужно знать а, то вы всегда можете получить это значение из формулы (38.9). Из этой формулы видно также, что коэффициент Пуассона s должен быть меньше ¹/₂. Если бы это было не так, то объемный модуль К был бы от­рицательным и материал при увеличении давления расширялся бы. Это позволило бы добывать механическую энергию из лю­бого кубика, т. е. это означало бы, что кубик находится в неу­стойчивом равновесии. Если бы он начал расширяться, то рас­ширение продолжалось бы само по себе с высвобождением энергии.

Посмотрим, что получится, если мы приложим к чему-то «косое» напряжение. Под косым, или скалывающим, напряже­нием мы подразумеваем такое воздействие, как показано на фиг. 38.4.

Фиг. 38.4. Однородный сдвиг.

В качестве предварительной задачи посмотрим, ка­кова будет деформация кубика под действием сил, показанных на фиг. 38.5.

Фиг. 38.5. Действие сжи­мающих сил, давящих на вершину и основание, и рав­ных им растягивающих сил с двух сторон.

Снова можно разделить эту задачу на две: вер­тикальное давление и горизонтальное растяжение. Обозначая через А площадь грани кубика, мы получаем для изменения горизонтальной длины

Изменение же высоты по вертикали равно просто тому же выражению с обратным знаком.

Предположим те­перь, что мы имеем тот же самый кубик, и под­вергнем его действию сдвиговых сил, показанных на фиг. 38.6, а.

Фиг. 38.6. Две пары сил сдвига (а) создают то же самое напряжение, что и сжимающие = растягивающие силы (б).

Заметим те­перь, что все силы должны быть равными, ибо на тело не должен действовать никакой момент сил и оно должно находиться в равновесии. (Подобные силы должны дей­ствовать также и в случае, изображенном на фиг. 38.4, поскольку кубик находится в равновесии. Они обеспечиваются тем, что кубик «приклеен» к столу.) При таких условиях го­ворят, что кубик находится в состоянии чистого сдвига. Но об­ратите внимание, что если мы разрежем кубик плоскостями под углом 45°, скажем, вдоль диагонали А на фиг. 38.6, а, то полная сила, действующая в этой плоскости, нормальна к ней и равна Ö2G. Площадь, на которой действует эта сила, равна Ö2A; следовательно, напряжение, нормальное к этой плоско­сти, будет просто G/A. Точно так же если взять плоскость, наклоненную под углом 45° в другую сторону, т. е. по диа­гонали В, то мы увидим, что на ней действует нормальное сдавливающее напряжение, равное -G/A. Из этого ясно, что напряжение при «чистом сжатии» эквивалентно комби­нации растягивающего и сжимающего напряжений, направлен­ных под прямым углом друг к другу и под углом 45° к перво­начальным граням кубика. Внутренние напряжения и деформа­ции будут такими же, как и в большом кубике материала под действием сил, показанных на фиг. 38.6, б. Но эту задачу мы уже решили. Изменение длины диагонали задается уравнением (38.10):

(Одна диагональ сокращается, а другая удлиняется.)

Часто деформацию сдвига удобно описывать с помощью угла «искажения» кубика q, показанного на фиг. 38.7.

Фиг. 38.7. Напряжение сдвига q равно 2DD/D.

Из геометрии фигуры вы видите, что горизонтальный сдвиг б верхнего края равен Ö2DD, так что

Напряжение сдвига g определяется как отношение тангенциаль­ной силы, действующей на грань, к площади грани g=G/A. Воспользовавшись уравнением (38.11), мы из (38.12) получаем

Или, если написать это в форме

Напряжение = ПостояннаяXДеформация

g=mq. (38.13)

Коэффициент пропорциональности m называется модулем сдвига (или иногда коэффициентом жесткости). Вот как он выражается через Y и s:

Кстати, модуль сдвига дол­жен быть положительным, иначе мы бы могли полу­чить энергию от самопро­извольного сдвига кубика. Из уравнения (38.14) очевидно, что постоянная а должна быть больше -1. Теперь мы знаем, что о заключена между -1 и ¹/₂, но на практике, однако, она всегда больше нуля. В ка­честве последнего примера состояний подобного типа, когда напряженность постоянна по всему материалу, давайте рассмот­рим задачу о бруске, который растягивается и в то же время закреплен таким образом, что боковое сокращение невозможно. (Технически немного легче сжимать брусок и сдерживать бока его от «распирания», но в сущности — это та же самая за­дача.) Что при этом происходит? На брусок должны действо­вать боковые силы, которые препятствуют изменению его тол­щины,— силы, которых мы не знаем непосредственно, но ко­торые следует вычислить. Эта задача того же самого сорта, что мы решали, но только с немного другой алгеброй. Представьте себе силы, действующие на все три стороны, как это показано на фиг. 38.8.

Фиг. 38.8. Растяжение без сокращения бокового размера.

Мы вычислим изменение размеров и подберем та­кие поперечные силы, чтобы ширина и высота оставались по­стоянными. Следуя обычным рассуждениям, мы получаем для трех напряжений

Но поскольку по условию Dl_у и Dl_z равны нулю, то уравнения (38.16) и (38.17) дают два соотношения, связыва­ющие F_y и F_z с F_x. Совместно решая их, найдем

а подставляя (38.18) в (38.15), получаем

Это соотношение вы часто можете встретить «перевернутым» и с преобразованным квадратичным полиномом по s, т. е.

Когда вы удерживаете бока, модуль Юнга умножается на не­которую сложную функцию s. Из уравнения (38.19) можно сразу же увидеть, что множитель перед Y всегда больше едини­цы. Растянуть брусок, когда его бока удерживаются, гораздо труднее. Это означает также, что брусок становятся жестче, когда его боковые стороны закреплены, нежели когда они свободны.

§ 3. Кручение стержня; волны сдвига

Обратимся теперь к более сложному примеру, когда различ­ные части материала напряжены по-разному. Рассмотрим скру­ченный стержень — скажем, приводной вал какой-то машины или подвеску из кварцевой нити, применяемую в точных при­борах. Из опытов с маятником кручения вы, по-видимому, знае­те, что момент сил, действующий на закручиваемый стержень, пропорционален углу, причем константа пропорциональности, очевидно, зависит от длины стержня, его радиуса и свойств ма­териала. Но каким образом — вот в чем вопрос? Теперь мы в состоянии ответить на него: просто нужно немного разобраться в геометрии.

На фиг. 38.9, а показан цилиндрический стержень, облада­ющий длиной L и радиусом а, один из концов которого закручен на угол j по отношению к другому.

Фиг. 38.9. Кручение цилиндрического стержня (а), кручение цилин­дрического слоя (б) и сдвиг любого маленького кусочка в слое (в).

Если мы хотим связать де­формацию с тем, что уже известно, то стержень можно предста­вить состоящим из множества цилиндрических оболочек и выяснить, что происходит в каждой из этих оболочек. Начнем с рассмотрения тонкого короткого цилиндра радиусом r (мень­шего, чем в) и толщиной Dr, как показано на фиг. 38.9, б. Если теперь посмотреть на кусочек внутри этого цилиндра, который первоначально был маленьким квадратом, то можно заметить, что он превратился в параллелограмм. Каждый элемент ци­линдра сдвигается, а угол сдвига q равен

q=rj/L.

Поэтому напряжение сдвига g в материале будет [из уравне­ния (38.13)]

Напряжение среза равно тангенциальной силе DF, дейст­вующей на конец квадратика, поделенной на его площадь Dl/Dr (см. фиг. 38.9, б):

g=DF/DlDr.

Сила DF, действующая на конец такого квадратика, создает относительно оси стержня момент сил Dt, равный

Dt=rDF=rgDlDr. (38.22)

Полный момент t равен сумме таких моментов по всему периметру цилиндра. Складывая достаточное число таких кусков так, чтобы все Dl составляли 2pr, находим, что полный момент сил для пустотелой трубы равен

гg(2pr)Dr. (38.23)

Или, используя уравнение (38.21),

Мы получили, что жесткость t/j пустотелой трубы по отноше­нию к кручению пропорциональна кубу радиуса r и толщине Dr и обратно пропорциональна его длине L.

Теперь представьте себе, что стержень сделан из целой се­рии таких концентрических труб, каждая из которых закруче­на на угол j (хотя внутренние напряжения в каждой трубе раз­личны). Полный момент равен сумме моментов, требуемых для скручивания каждой оболочки, так что для твердого стержня

где интеграл берется от 0 до а — радиуса стержня. После ин­тегрирования получаем

Если закручивать стержень, то его момент оказывается про­порциональным углу и четвертой степени диаметра: стержень вдвое большего радиуса в шестнадцать раз жестче относительно кручения.

Прежде чем расстаться с кручением, рассмотрим применение теории к одной интересной задаче — волнам кручения. Возьмем длинный стержень и неожиданно закрутим один его конец; вдоль стержня, как показано на фиг. 38.10, а, пойдет волна кручения.

Фиг. 38.10. Волна кручения в стержне (а) и элемент объема стержня (б).

Это явление более интересно, нежели простое стати­ческое скручивание. Посмотрим, можем ли мы понять, как это происходит.

Пусть z — расстояние от некоторой точки до основания стержня. Для статического закручивания момент сил на всем протяжении стержня один и тот же и пропорционален j/L — полному углу вращения на полную длину. Но в нашей задаче важна местная деформация кручения, которая, как вы сразу поймете, равна дj/дz. Если кручение вдоль стержня неравно­мерное, то уравнение (38.25) следует заменить таким:

Посмотрим теперь, что же происходит с элементом длины Dz, который показан в увеличенном масштабе на фиг. 38.10, б. На конце 1 маленького отрезка стержня действует момент t(z), а на конце 2— другой момент сил t(z+Dz). Если величина Dz достаточно мала, то можно воспользоваться разложением в ряд Тэйлора и, сохранив только два члена, написать

Полный момент сил Dt, действующий на маленький от­резок стержня между z и Dz, равен разности t(z) и

t(z+Dz),

или

Dt=(дt/дz)Dz.

Дифференцируя уравнение (38.26), получаем

Действие этого полного момента должно вызвать угловое ускорение отрезка стержня. Масса его равна

где r — плотность материала. В гл. 19 (вып. 2) мы нашли, что момент инерции кругового цилиндра равен mr²/2; обо­значая момент инерции нашего отрезка через Dl, получаем

Закон Ньютона говорит нам, что момент силы равен произ­ведению момента инерции на угловое ускорение, или

Собирая теперь все воедино, находим

или

Вы, должно быть, уже узнали, что это такое: это одномерное волновое уравнение. Мы получили, что волны кручения распространяются по стержню со скоростью

Чем плотнее стержень при одной и той же жесткости, тем мед­леннее движется волна, а чем он жестче, тем волна бежит бы­стрее. Скорость ее не зависит от диаметра стержня.

Волны кручения представляют частный случай волн сдвига. Волны сдвига в общем случае — это такие волны, при которых деформация не изменяет объема любой части материала. В вол­нах кручения мы сталкиваемся с особым распределением нап­ряжений сдвига — они распределены по кругу. Но волны при любом распределении напряжений сдвига будут распростра­няться с одной и той же скоростью, которая определяется фор­мулой (38.32). Сейсмологи, например, обнаружили, что такие волны сдвига распространяются и внутри Земли.

В мире упругих явлений возможен и другой сорт волн внут­ри твердого материала. Если вы толкнете что-нибудь, то можете возбудить «продольные» волны, так называемые волны «сжа­тия». Они подобны звуковым волнам в воздухе или в воде, т. е. перемещение вещества в них происходит в ту же сторону, что и распространение волны. (На поверхности упругого тела мо­гут распространяться и другие типы волн, называемые «вол­нами Рэлея». Деформация в них ни продольная, ни поперечная. Однако у нас нет времени говорить о них подробно.)

Раз уж мы коснулись вопроса о волнах, то какова скорость волн чистого сжатия в большом твердом теле, подобном Земле? Я сказал в «большом», ибо скорость звука в массивном теле отлична от скорости, свойственной, скажем, тонкому стерж­ню. Под массивным телом я подразумеваю тело, поперечные раз­меры которого много больше длины волны звука. Поэтому, нажимая на такой объект, можно обнаружить, что он не «раз­дается» в стороны — он может сжиматься только в одном нап­равлении. К счастью, однако, мы уже разобрали специаль­ный случай сжатия «сдавленного» упругого материала, а в гл. 47 (вып. 4) мы познакомились еще со скоростью звука в газе. Рас­суждая так же, как и выше, вы можете убедиться, что скорость звука в твердом теле равна Ö(Y'/r), где Y' — «продольный мо­дуль», т. е. давление, деленное на относительное изменение длины (для случая «сдавленного» стержня). Равно это просто отношению Dl/l к F/A, полученному нами в уравнении (38.20). Таким образом, скорость продольных волн определяется выра­жением

Поскольку значение s заключено между 0 и ¹/₂, то модуль сдвига m меньше модуля Юнга Y, a Y', кроме того, больше Y, так что

m<Y<Y'.

Это означает, что продольные волны распространяются быстрее, чем волны сдвига. Один из наиболее точных способов определе­ния упругих постоянных вещества дает измерение плотности материала и скоростей двух сортов волн. Из этой информации можно получить как Y, так и s. Кстати, именно измеряя раз­ность во времени прихода двух сортов волн от землетрясения, сейсмологи только по сигналам, принятым одной станцией, способны установить расстояние до эпицентра.

§ 4. Изгибание балки

Разберем теперь другой практический вопрос — изгибание балки, стержня или бруска. Чему равны силы, необходимые для изгибания балки произвольного поперечного сечения?

Мы определим эти силы для балки круглого сечения, но ответ будет пригоден для балки любой формы. Чтобы сберечь время, мы кое-где упростим дело, так что теория, которую мы разовьем, будет только приближенной. Наши результаты верны лишь при том условии, что радиус изгиба­ния много больше толщины балки.

Представьте, что вы ухватились за оба конца прямой балки и согнули ее в виде кривой, похожей на ту, что изображена на фиг. 38.11.

Фиг. 38.11. Изогнутая балка.

Что же происходит внутри балки? Раз она искрив­лена, значит, материал на внутренней стороне сгиба сжат, а на внешней стороне растянут. Но имеется какая-то поверхность, более или менее параллельная оси балки, которая и не сжата, и не растянута. Называется она нейтральной поверхностью. По-видимому, эта поверхность проходит где-то «посредине» поперечного сечения. Можно показать (но я не буду этого здесь делать), что для небольшого изгиба простой балки нейтральная поверхность проходит через «центр тяжести» поперечного се­чения. Но это справедливо только для «чистого» сгиба, т. е. когда балка не растягивается и не сжимается как целое.

При чистом сгибе тонкий поперечный отрезок балки возму­щен (фиг. 38.12, а).

Фиг. 38.12. Маленький отрезок изогнутой балки (а) и поперечное сечение балки (б).

Материал под нейтральной поверхностью испытывает деформацию сжатия, которая пропорциональна рас­стоянию от нейтральной поверхности, а материал над ней ра­стянут тоже пропорционально расстоянию от нейтральной по­верхности. Таким образом, продольное удлинение Dl пропорцио­нально высоте у. Константа пропорциональности равна просто длине l, деленной на радиус кривизны балки (см. фиг. 38.12):

Dl/l=y/R.

Так что напряжение, т. е. сила, действующая на единичную площадь в некоторой маленькой полоске вблизи у, тоже про­порциональна расстоянию от нейтральной поверхности

Теперь рассмотрим те си­лы, которые привели бы к подобной деформации. Силы, действующие на маленький отрезок, изображенный на фиг. 38.12, показаны на том же рисунке. Если мы возьмем любое поперечное сечение, то действующие на нем силы направлены в одну сторону выше нейтральной поверхно­сти и в другую — ниже ее. Получается пара сил, кото­рая создает «изгибающий мо­мент», под которым мы понимаем момент силы относительно нейтральной линии. Интегрируя произведение силы на расстояние от нейтральной поверхности, можно вычислить полный момент на одной из граней отрезка фиг. 38.12:

Согласно (38.34), dF=Y(y/R)dA, так что

Но интеграл от y²dA можно назвать «моментом инерции» гео­метрического поперечного сечения относительно горизонталь­ной оси, проходящей через его «центр масс»; мы будем обоз­начать его через I, т. е.

Уравнение (38.36) дает нам соот­ношение между изгибающим момен­том и кривизной балки 1/R. «Жесткость» балки пропорциональна Y и моменту инерции I. Другими словами, если вы хотите какую-то балку, скажем из алюминия, сделать как можно жестче, то вы должны как можно больше вещества поме­стить как можно дальше от оси, относительно которой берется момент инерции. Но этого нельзя доводить до предела, ибо тогда балка не будет искривляться так, как мы предположили: она согнется или скрутится и снова станет слабее. Вот почему каркасные балки делают в форме буквы I или Н (фиг. 38.13).

Фиг. 38.13. Двутавровая балка.

В качестве примера применения нашего уравнения (38.36) для балки вычислим отклонение консольной балки под дейст­вием сосредоточенной силы W, действующей на ее свободный конец (фиг. 38.14).

Фиг. 38.14. Консольная балка с нагрузкой на конце.

(Консольная балка закреплена одним концом, который вмурован в стенку.) Какая же тогда будет форма балки? Обозначим отклонение на расстоянии х от зак­репленного конца через z; мы хотим найти z(x). Будем вычис­лять только малые отклонения. Как вы знаете из курса мате­матики, кривизна 1/R любой кривой z(x) задается выражением

Нас интересуют только малые изгибы (обычная вещь в ин­женерных конструкциях), поэтому квадратом производной (dz/dx)² можно пренебречь по сравнению с единицей и считать

Нам нужно еще знать изгибающий момент . Он является функцией от х, так как в любом поперечном сечении он равен моменту относительно нейтральной оси. Весом самой балки пренебрежем и будем учитывать только силу W, действующую вниз на свободный ее конец. (Если хотите, можете сами учесть ее вес.) При этом изгибающий момент на расстоянии х равен

ибо это и есть момент сил относительно точки х, с которым действует груз W, т. е. груз, который должен поддерживать балку. Получаем

или

Это уравнение можно проинтегрировать без всяких фокусов и получить

воспользовавшись предварительно нашим предположением, что z(0)=0 и что dz/dx в точке x=0 тоже равно нулю. Это и есть граничные условия. А отклонение конца будет

т, е. отклонение возрастает пропорционально кубу длины балки. При выводе нашей приближенной теории мы предполагали, что при изгибании поперечное сечение бруска не изменяется. Когда толщина бруска мала по сравнению с радиусом кривизны, поперечное сечение изменяется очень мало и все отлично. Однако в общем случае этим эффектом пренебречь нельзя — согните пальцами канцелярскую резин­ку и вы сами убедитесь в этом. Если первоначально попереч­ное сечение было прямоуголь­ным, то, согнув резинку, вы уви­дите, как она выпирает у основания (фиг. 38.15).

Фиг. 38.15. Согнутая резинка (а) и ее поперечное сечение (б).

Это получается потому, что, согласно отноше­нию Пуассона, при сжатии основания материал «раздается» вбок. Резинку очень легко согнуть или растянуть, но она несколько напоминает жидкость в том отношении, что изменить ее объем очень трудно. Это и сказывается при сгибании резинки. Для несжимаемых материалов отношение Пуассона было бы точно равно ¹/₂, для резинки те оно близко к этому числу.

§ 5. Продольный изгиб

Теперь воспользуемся нашей теорией, чтобы понять, что про­исходит при продольном изгибе бруска, опоры или стержня. Рассмотрим то, что изображено на фиг. 38.16.

Фиг. 38.16. Продольно изогну­тая балка.

Здесь стержень, обычно прямой, удерживается в согнутом виде двумя проти­воположными силами, давящими на его концы. Найдем форму стержня и величину сил, действующих на концы.

Пусть отклонение стержня от прямой линии между концами будет у(х), где х — расстояние от одного конца. Изгибающий момент в точке Р на рисунке равен силе F, умноженной на плечо, перпендикулярное направлению у:

Воспользовавшись выражением для момента (38.36), имеем

При малых отклонениях можно считать 1/R=-d²y/dx² (от­рицательный знак выбран потому, что кривизна направлена вниз). Отсюда

т. е. появилось дифференциальное уравнение для синуса. Таким образом, для малых отклонений кривая такого про­дольно изогнутого стержня представляет синусоиду. «Длина волны» l. этой синусоиды в два раза больше расстояния L между концами. Если изгиб невелик, она просто равна уд­военной длине неизогнутого стержня. Таким образом, получается кривая

Беря вторую производную, находим

Сравнивая это с (38.45), видим, что сила равна

Для малого продольного изгиба сила не зависит от перемеще­ния у!

Физически же получается вот что. Если сила F меньше опре­деляемой уравнением (38.46), то никакого продольного изгиба не происходит. Но если она хоть немного больше этой силы, то балка внезапно и очень сильно согнется, т. е. под действием сил, превышающих критическую величину p²YI/L² (часто назы­ваемую «силой Эйлера»), балка будет «гнуться». Если на вто­ром этаже здания разместить такой груз, что нагрузка на под­держивающие колонны превысит силу Эйлера, то здание рух­нет. Другая область, где очень важны продольно изгибающие силы,— это космические ракеты. С одной стороны, ракета дол­жна выдерживать свой вес на стартовой площадке и вынести напряжения во время ускорения, а с другой — очень важно свести вес всей конструкции до минимума, чтобы полезная на­грузка и полезная мощность двигателей были как можно больше.

Фактически превышение силы Эйлера вовсе не означает, что после этого балка полностью разрушится. Когда отклонение ста­новится большим, сила благодаря члену (dz/dx)² в уравнении (38.38), которым мы пренебрегли, будет на самом деле больше вычисленной. Чтобы найти силы при большом продольном изги­бании стержня, мы должны вернуться к точному уравнению (38.44), которое получалось до использования приближенной связи между R и y.

Уравнение (38.44) имеет довольно простые геометрические свойства. Решается оно немного сложнее, но зато гораздо интереснее. Вмес­то того чтобы описывать кривую через х и у, можно воспользовать­ся двумя новыми переменными:

S — расстоянием вдоль кривой и

q— наклоном касательной к кри­вой (фиг. 38.17.)

Фиг. 38.17. Координа­ты кривой продольно изогнутой балки S и q.

Тогда кривизна будет равна скорости изменения угла с расстоянием

Поэтому точное уравнение (38.44) можно записать в виде

После взятия производной этого уравнения по S и замены dy/dS на sinq получим

[Если углы q малы, то мы снова приходим к уравнению (38.45), стало быть здесь все в порядке.

Не знаю, можете ли вы еще удивляться, но уравнение (38.47) получилось в точности таким же, как и для колебаний маятника с большой амплитудой (разумеется, с заменой F/YI другой постоянной). Еще раньше, в гл. 9 (вып. 1), мы узнали, как нахо­дить решение такого уравнения численным методом. В ответе вы получите очаровательную кривую. На фиг. 38.18 показаны три кривые для разных значений постоянной F/YI.

* Кстати, точно такое же уравнение возникает и в других физических ситуациях: например, в мениске на поверхности жидкости, заключенной между двумя параллельными стенками, а поэтому можно воспользоваться тем же самым геометрическим рассмотрением.

* Решение его можно выразить также через особые функции, называе­мые «эллиптическими функциями Якоби», которые когда-то раз навсегда были вычислены и протабулированы.

* Это и есть момент инерции пластинки единичной плотности и с единичной площадью сечения