AllPhysics.ru

§ 1.Фильтровка ато­мов при помощи прибора Штерна — Герлаха

§ 2.Опыты с про­фильтрованными атомами

§ 3. Последовательно соединенные фильтры Штер­на — Герлаха

§ 4. Базисные состоя­ния

§ 5. Интерферирую­щие амплитуды

§ 6. Механика кван­товой механики

§ 7. Преобразование к другому базису

§ 8. Другие случаи

Повторить: гл. 35 (вып. 7) «Пара­магнетизм и маг­нитный резонанс»

§ 1. Фильтровка атомов при помощи прибора Штерна — Герлаха

В этой главе мы начнем изучать квантовую механику по-настоящему — в том смысле, что мы собираемся теперь описывать квантовомеханическое явление полностью с квантовомеханической точки зрения. Мы не будем искать объяснений в классической механике или пы­таться установить с ней связь. Мы хотим гово­рить на новом языке о чем-то новом. Частный случай, с которого мы начнем, это поведение квантованного момента количества движения для частицы со спином 1. Но мы не хотим упот­реблять такие слова, как «момент количества движения» или другие понятия классической механики, мы несколько отложим их обсужде­ние. Мы избрали этот частный случай лишь потому, что он достаточно прост, хотя и не самый простой из всех. Он достаточно сложен для то­го, чтобы служить образцом, который можно будет обобщить для описания всех квантовомеханических явлений. Стало быть, хотя мы будем иметь дело лишь с частным примером, все законы, которые мы упомянем, могут быть немедленно обобщены; мы так и сделаем, чтобы вам стали ясны общие черты квантовомеханического описания.

Начнем с явления расщепления пучка ато­мов на три отдельных пучка в опыте Штерна — Герлаха. Вы помните, что если имеется неод­нородное магнитное поле, созданное магнитом с острым полюсным наконечником, и если через прибор пропустить пучок частиц, то этот пучок может расщепиться на несколько пучков; их количество зависит от сорта атома и его состояния. Мы разберем случай, когда атом расщепляется на три пучка; такую частицу мы будем называть частицей со спином 1. Вы сможете потом сами разобрать случай пяти пучков, семи пучков, двух и т. д. Вам придется попросту все скопировать, но там, где у нас были три члена, у вас окажется пять, семь, два и т. д. Представьте себе прибор, схематически начерченный на фиг. 3.1.

Фиг. 3.1. В опыте Штерна—Герлаха атомы со спином 1 расщеп­ляются на три пучка.

Пучок атомов (или любых частиц) коллимирован (ограни­чен) какими-то прорезями и проходит сквозь неоднородное поле. Пусть пучок движется по оси y, а магнитное поле и его градиент направлены по оси z. Тогда, глядя со стороны, мы увидим, как пучок расщепляется по вертикали на три пучка. На выходном конце магнит можно поставить Небольшие счетчики, подсчи­тывающие скорость появления частиц в том или ином из трех пучков. Или можно перекрыть два пучка и пропускать только третий.

Предположим, что мы перекрыли два нижних пучка, а са­мый верхний пропустили, введя его во второй прибор Штерна — Герлаха такого же типа (фиг. 3.2).

Фиг. 3.2. Атомы одного из пучков посланы в другой такой же прибор.

Что произойдет? Во втором приборе уже не будет трех пучков; там останется только верх­ний пучок (мы предполагаем, что угол отклонения очень мал). Если считать второй прибор простым продолжением первого, то те атомы, которые в первый раз отклонялись вверх, продолжают отклоняться вверх и вторым магнитом.

Вы видите, что первый прибор создал пучок «очищенных» объектов — атомов, которые отклонились вверх в некотором неоднородном поле. Те атомы, которые входят в первоначаль­ный прибор Штерна — Герлаха, суть атомы трех «разновидно­стей», или три copтa выбирают разные траектории. Отфильтро­вывая одну-единственную разновидность, можно создать такой пучок, будущее поведение которого в приборе того же типа вполне определено и предсказуемо. Такой пучок мы назовем отфильтрованным, или поляризованным, в этом пучке все ато­мы находятся в определенном состоянии.

В дальнейшем будет удобнее рассматривать слегка видоизме­ненный прибор Штерна — Герлаха. На первый взгляд он вы­глядит сложнее, но на самом деле упрощает все рассуждения. Впрочем, раз мы будем делать только «мысленные эксперимен­ты», усложнение оборудования не будет стоить нам ни гроша, (Заметим, кстати, что никто никогда всех этих экспериментов точно таким образом не ставил, а мы тем не менее знаем, что в них произойдет. Мы это знаем из законов квантовой механики, которые, конечно, основаны на других сходных экспериментах. Эти другие эксперименты вначале труднее понять, и мы пред­почитаем описывать какие-то идеализированные, но мыслимые эксперименты.)

На фиг. 3.3, «изображен чертеж «усовершенствованного при­бора Штерна — Герлаха», которым мы и будем пользоваться.

Фиг. 3.3. Воображаемое видоизменение прибора Штерна — Герлаха (а) и пути атомов со спином 1 (б)

Он состоит из последовательности трех магнитов с сильным градиентом ноля. Первый (левый) — это обычный магнит Штерна — Герлаха. Он разделяет падающий пучок частиц со спином 1 на три отдельных пучка. Второй магнит имеет то же сечение, что и первый, но он вдвое длиннее и полярность его магнитного поля противоположна полю в первом магните. Второй магнит отталкивает атомные магнитики в обратную сторону и искривляет их пути снова к оси, как показано на траекториях, начерченных на фиг. 3.3, б. Третий магнит в точ­ности похож на первый; он сводит три пучка снова в одно место и выпускает их через выходное отверстие вдоль оси. Наконец, надо представить себе, что перед отверстием в А имеется какой-то механизм, который разгоняет атомы из состояния покоя, а после выходного отверстия в В имеется замедляющий меха­низм, который опять приводит атомы в В в состояние покоя. Это несущественно, но это все же будет означать, что в нашем анализе нам не придется заботиться об учете каких-либо эффектов движения, когда атомы выходят, и можно будет сосредоточиться на тех вопросах, которые связаны только со спином.

Все назначение «усовершенствованного» прибора в том и состоит, чтобы свести все частицы в одно и то же место, где они имели бы нулевую скорость.

Если мы хотим теперь провести опыт наподобие показанного на фиг. 3.2, то для начала нужно будет получить отфильтрован­ный пучок, вставив внутрь прибора пластинку, которая заго­родит два пучка (фиг. 3.4).

Фиг. 3.4. «Усовершенствованный» прибор Штерна—Герлаха в качестве фильтра.

Если теперь пропустить полученные поляризованные атомы через второй такой же прибор, то все атомы изберут верхний путь; в этом можно убедиться, поставив такие же пластинки на пути различных пучков во втором фильт­ре и наблюдая, пройдут ли частицы насквозь.

Обозначим первый прибор буквой S. (Мы собираемся рас­сматривать всевозможные сочетания приборов, и, чтобы не пу­таться, мы дадим каждому свое имя.) Об атомах, которые избра­ли в S верхний путь, мы скажем, что они находятся в «плюс-состоянии по отношению к S»; о тех, которые пошли по среднему пути,— что они «в нуль-состоянии по отношению к S», и о тех, которые выбрали нижний путь,— что они в «минус-состоянии по отношению к S». (На более привычном языке мы бы сказали, что z-компонента момента количества движения равна +1h. 0 и -1h, но сейчас мы отказались от этого языка.) На фиг. 3.4 второй прибор ориентирован точно так же, как первый, так что отфильтрованные атомы все пойдут по верхнему пути. А если бы в первом приборе загородить верхний и нижний пучки и пропустить только находящиеся в нуль-состоянии, то все отфильтрованные атомы прошли бы через среднюю часть вто­рого прибора. И наконец, если бы загородить в первом приборе все пучки, кроме нижнего, то во втором был бы только нижний пучок. Можно сказать, что в любом случае первый прибор соз­дает отфильтрованный пучок в чистом состоянии по отношению к S (+, 0 или -), и мы всегда можем испытать, какое именно состояние он создает, пропустив атомы через второй такой же прибор.

Можно и второй прибор устроить так, чтобы он пропускал атомы только в одном определенном состоянии. Для этого нуж­но поставить внутри него перегородки так, как мы это делали в первом приборе, и тогда можно будет проверять состояние падающего пучка, просто глядя, вышло ли что-нибудь из дальнего конца. Например, если загородить два нижних пути во втором приборе, то все атомы выйдут наружу; если же заго­родить верхний, то не пройдет ничего.

Чтобы облегчить подобные рассуждения, мы сейчас приду­маем сокращенное изображение наших усовершенствованных приборов Штерна — Герлаха. Вместо каждого такого прибора мы будем ставить символ

(Этот символ вы не встретите в квантовой механике; мы попросту выдумали его для этой главы. Он означает просто сокращенное изображение прибора, показанного на фиг. 3.3.) Поскольку мы I собираемся пользоваться несколькими приборами одновремен­но, имеющими к тому же разную ориентацию, то каждый из них мы будем отмечать буквой внизу. Так, символ (3.1) обозна­чает прибор S. Загораживая внутри один или больше пучков, мы будем отмечать это вертикальными чертами, показывающи­ми, какой из пучков перекрыт, наподобие

Различные мыслимые комбинации собраны на фиг. 3.5.

Фиг. 3.5. Специальные сокра­щенные обозначения для фильт­ров типа Штерна — Герлаха.

Если два фильтра сто­ят друг за другом (как на фиг. 3.4), мы и симво­лы будем ставить друг за другом:

При таком расположении все, что прошло через пер­вый фильтр, пройдет и через второй. В самом деле, даже если мы перекроем каналы «нуль» и «минус» второго прибора, так что будет

все равно прохождение через второй прибор будет 100%-ным. Но если имеется

то из дальнего конца не выйдет ничего. Равным образом ни­чего не выйдет и при

С другой стороны,

было бы просто эквивалентно одному только

Теперь мы хотим описать эти опыты квантовомеханически. Мы скажем, что атом находится в состоянии (+S), если он прошел через прибор, изображенный на фиг, 3.5,б, что он находится в состоянии (0S), если прошёл сквозь прибор на фиг. 3.5, в, и что он находится в состоянии (-S), если прошел сквозь прибор на фиг. 3.5, г. Затем пусть <b|a> будет амплитуда того, что атом, который находится в состояний а, пройдя через прибор, окажется в состоянии b. Можно ска­зать <b|а> есть амплитуда для атома в состоянии а перейти в состояние b. Опыт (3.4) означает, что

<+S|+S>=1,

а (3.5) — что

<-S|+S>=0.

Точно так же и результат (3.6) означает, что

<+ S|-S>=0,

а (3.7)— что

<-S|-S>=1.

Пока мы имеем дело только с «чистыми» состояниями, т. е. пока бывает открыт только один канал, таких амплитуд — всего девять. Их можно перечислить в следующей таблице:

Эта совокупность девяти чисел, именуемая матрицей, по­дытоживает описанные нами явления.

§ 2. Опыты с профильтрованными атомами

Теперь возникает важный вопрос: что будет, если второй

прибор наклонить под некоторым углом, так чтобы ось его поля больше не была параллельной оси первого? Его можно не только наклонить, но и направить в другую сторону, напри­мер повернуть пучок поперек. Вначале для простоты возьмем такое расположение, при котором второй прибор Штерна — Герлаха повернут вокруг оси у на угол а (фиг. 3.6).

Фиг. 3.6. Два последовательно соединенных фильтра типа Штерна — Герлаха.

Второй повернут, относительно первого на угол a.

Такой при­бор мы обозначим буквой Т. Пусть мы теперь предприняли следующий опыт:

или такой опыт:

Что в этих случаях выйдет из дальнего конца?

Ответ таков. Если атомы по отношению к S находятся в опре­деленном состоянии, то по отношению к Т они не находятся в том же состоянии, состояние (+S) не является также и состоя­нием (+T). Однако имеется определенная амплитуда обна­ружить атом в состоянии (+Т), или в состоянии (О Т), или в состоянии (-Т).

Иными словами, как бы досконально мы ни убедились, что наши атомы находятся в определенном состоянии, факт остается фактом, что, когда такой атом проходит через прибор, наклоненный под другим углом, он вынужден, так сказать, «переориентироваться» (что происходит, не забывайте, по зако­нам случая). Если пропускать в каждый момент по одной части­це, то вопрос можно будет ставить только таким образом: какова вероятность того, что она пройдет насквозь? Некоторые прошед­шие сквозь S атомы очутятся в конце в состоянии (+Т), дру­гие — в состоянии (0Т), третьи — в состоянии (-Т), и каж­дому состоянию отвечает своя вероятность. Эти вероятности можно вычислить, зная квадраты модулей комплексных ампли­туд; нам нужен математический метод для этих амплитуд, их квантовомеханическое описание. Нам нужно знать, чему равны различные величины типа

<-T+S>;

под этими выражениями мы подразумеваем амплитуду того, что атом, первоначально бывший в состоянии (+S), может перейти в состояние (-Т) (что не равно нулю, если только S и Г не параллельны друг другу). Имеются и другие амплитуды, например

<+T|0S> или <0T|-S> и т. д.

Таких амплитуд на самом деле девять — это тоже матрица, и теория должна сообщить нам, как их вычислять. Подобно тому как F = ma сообщает нам, как подсчитать, что бывает в любых обстоятельствах с классической частицей, точно так же и законы квантовой механики позволяют нам определять ам­плитуду того, что частица пройдет через такой-то прибор. Центральный вопрос тогда заключается в том, как сосчитать для каждого данного угла а или вообще для какой угодно ориен­тации девять амплитуд:

Некоторые соотношения между этими амплитудами мы сразу можем себе представить. Во-первых, согласно нашим определениям, квадрат модуля

— это вероятность того, что атом, бывший в состоянии ( +S), придет в состояние (+Т). Такие квадраты удобнее писать в эквивалентном виде

В тех же обозначениях число

дает вероятность того, что частица в состоянии (+S) перей­дет в состояние (0T), а

— вероятность того, что она перейдет в состояние (-Т). Но наши приборы устроены так, что каждый атом, входящий в прибор Т, должен быть найден в каком-то одном из трех со­стояний прибора Т',— атомам данного сорта нет других путей. Стало быть, сумма трех только что написанных вероятностей должна равняться единице. Получается соотношение

Имеются, конечно, еще два таких же уравнения для случаев, когда вначале было состояние (0S) или (-S). Их очень легко написать, так что мы переходим к другим общим вопросам.

§ 3. Последовательно соединенные фильтры Штерна — Герлаха

Пусть у нас есть атомы, отфильтрованные в состояние (+S), которые мы затем пропустили через второй фильтр, переведя, скажем, в состояние (О Т), а затем — через другой фильтр (+S). (Обозначим его S', чтобы не путать с первым фильтром S.) Вспомнят ли атомы, что они уже раз были в со­стоянии (+S)? Иначе говоря, мы ставим такой опыт:

и хотим знать, все ли атомы, прошедшие сквозь Т, пройдут и сквозь S'. Нет. Как только они пройдут фильтр Т, они сразу же позабудут о том, что, входя в Т, они были в состоянии (+S). Заметьте, что второй прибор S в (3.11) ориентирован в точности так же, как первый, так что это по-прежнему фильтр типа S. Состояния, выделяемые фильтром S',— это, конечно, все те же (+S), (0S) и (-S).

Здесь существенно вот что: если фильтр Т пропускает толь­ко один пучок, то та доля, пучка, которая проходит через второй фильтр S, зависит только от расположения фильтра Т и совер­шенно не зависит от того, что было перед ним. Тот факт, что те же самые атомы однажды уже были отсортированы фильтром S, никак и ни в чем не влияет на то, что они будут делать после того, как прибор Т снова отсортирует их в чистый пучок. От­сюда следует, что вероятность перейти в те или иные состояния для них одна и та же безотносительно к тому, что с ними слу­чалось до того, как они угодили в прибор Т, Для примера сравним опыт (3.11) с опытом

в котором изменилось только первое S. Пусть, скажем, угол a (между S и Т) таков, что в опыте (3.11) треть атомов, прошед­ших сквозь Т, прошла также и через S'. В опыте (3.12), хоть в нем, вообще говоря, через Т пройдет другое число атомов, но через S' пройдет та же самая, часть их — одна треть.

Мы можем на самом деле показать, опираясь на то, чему мы научились раньше, что доля атомов, которые выходят из Т и проходят через произвольный определенный фильтр S', зависит лишь от Т и S', а не от чего бы то ни было происходившего ра­нее. Сравним опыт (3.12) с

Амплитуда того, что атом, выходящий из S, пройдет и сквозь Т, и сквозь 6", в опыте (3.12) равна

<+S|0T><0T|0S>.

Соответствующая вероятность такова:

а вероятность в опыте (3.13)

Их отношение

зависит только от Т и S' и совсем не зависит от того, какой пу­чок (+S), (0S) или (-S) был отобран в S. (Абсолютные же количества могут быть большими или меньшими, смотря по тому, сколько прошло через Т.) Мы бы получили, конечно, аналогичный результат, если бы сравнили вероятности того, что атомы перейдут в плюс- или минус-состояние (по отноше­нию к S'), или отношения вероятностей перейти в нуль- или минус-состояние.

Но раз эти отношения зависят только от того, какой пучок может пройти сквозь Т, а не от отбора, выполненного первым фильтром S, то становится ясно, что тот же результат получил­ся бы, если бы последний прибор даже не был фильтром S. Если в качестве третьего прибора (назовем его R) мы используем прибор, повернутый относительно Т на некоторый произволь­ный угол, то все равно увидим, что отношения типа

не зависят от того, какой пучок проник через первый фильтр S.

§ 4. Базисные состояния

Эти результаты иллюстрируют один из основных принципов квантовой механики: любая атомная система может быть раз­делена процессом фильтрования на определенную совокуп­ность того, что мы назовем базисными состояниями, и будущее поведение атомов в любом данном отдельном базисном состоя­нии зависит только от природы базисного состояния — оно не зависит от предыдущей истории. Базисные состояния за­висят, конечно, от примененного фильтра; например, три со­стояния (+Т), (0Т) и (-Т)—это одна совокупность базисных состояний, а три состояния (+S), (0S) и (-S) — другая. Возможностей сколько угодно, и ни одна не хуже другой.

Необходимо быть осторожным, утверждая, что мы рас­сматриваем хорошие фильтры, которые действительно создают «чистые» пучки. Если, скажем, наш прибор Штерна — Герлаха недостаточно хорошо отделяет пучки друг от друга, то Мы не можем произвести полного разделения на базисные состояния. Мы можем проверить, есть ли у нас чистые базисные состояния, посмотрев, смогут ли пучки опять расщепиться еще одним таким же фильтром. Если, например, имеется чистое состояние (+T), то все атомы пройдут через

но ни один из них не пройдет ни через

ни через

Наше утверждение относительно базисных состояний означает, что есть возможность отфильтровать пучок до некоторого чис­того состояния, так что дальнейшее фильтрование идентичным прибором уже станет невозможным.

Следует еще отметить, что все, что мы говорим, до конца верно лишь в идеализированных случаях. В каждом реальном приборе Штерна — Герлаха надо подумать и о дифракции на щелях, которая может вынудить некоторые атомы перейти в состояния, отвечающие другим углам, и о том, нет ли в пучке атомов с другой степенью возбуждения своих внутренних со­стояний и т. д. Мы идеализировали наш случай и говорим только о тех состояниях, которые расщепляются в магнитном поле; при этом мы игнорируем все, что касается местоположения, импульса, внутренних возбуждений и т. п. Вообще же следовало бы рассматривать также базисные состояния, рассортированные и по отношению ко всем перечисленным характеристикам. Но для простоты мы пользуемся только нашей совокупностью трех состояний. Этого вполне достаточно для того, чтобы точно рассмотреть идеализированный случай, в котором атомы не подвергаются в приборе плохому обращению, не разрываются и, более того, покидая его, оказываются в состоянии покоя.

Заметьте, что мы всегда начинаем наши мысленные экспери­менты с того, что берем фильтр, у которого открыт только один канал, так что начинаем всегда с определенного базисного со­стояния. Мы делаем это потому, что атомы выходят из печи в различных состояниях, случайно определенных тем, что про­изойдет в печи. (Это дает так называемый «неполяризованный» пучок.) Эта случайность предполагает вероятности «классичес­кого» толка (как при бросании монеты), которые отличаются от интересующих нас сейчас квантовомеханических вероятностей. Работа с неполяризованным пучком привела бы нас к добавоч­ным усложнениям, а их лучше избегать, пока мы не поймем поведения поляризованных пучков. Так что пока не пытайтесь размышлять о том, что случится, если первый аппарат пропустит сквозь себя больше одного пучка. (В конце главы мы расскажем вам, как нужно поступать и в таких случаях.)

А теперь вернемся назад и посмотрим, что будет, если мы перейдем от базисного состояния для одного фильтра к базис­ному состоянию для другого фильтра. Начнем опять с

Атомы, выходящие из Т, оказываются в базисном состоянии (О Т) и не помнят, что когда-то они побывали в состоянии (+S). Некоторые говорят, что при фильтровании прибором Т мы «потеряли информацию» о былом состоянии (+S), потому что «возмутили» атомы, когда разделяли их прибором Т на три пучка. Но это неверно. Прошлая информация теряется не при разделении на три пучка, а тогда, когда ставятся перегородки, в чем можно убедиться в следующем ряде опытов.

Начнем с фильтра +S и обозначим количество прошедших сквозь него атомов буквой N. Если мы вслед за этим поставим фильтр О Т, то число атомов, которое выйдет из фильтра, окажется некоторой частью от первоначального их количества, скажем aN. Если мы затем поставим второй фильтр +S, то до конца дойдет лишь часть b атомов. Это можно записать следующим образом:

Если наш третий прибор S' выделяет другое состояние, скажем (0S), то через него пройдет другая часть атомов, скажем g. Мы будем иметь

Теперь предположим, что мы повторили оба эти опыта, убрав из Т все перегородки. Тогда мы получим следующий замечательный результат:

В первом случае через S' прошли все атомы, во втором — ни одного! Это один из самых великих законов квантовой механики. То, что природа действует таким образом, вовсе не самоочевид­но; результаты, которые мы привели, отвечают в нашем идеа­лизированном случае квантовомеханическому поведению, на­блюдавшемуся в бесчисленных экспериментах.

§ 5. Ннтерферирующив амплитуды

Как же это может быть, что, когда переходят от (3.15) к (3.17), т. е. когда открывается больше каналов, через фильтры начинает проходить меньше атомов? Это и есть старый, глубо­кий секрет квантовой механики — интерференция амплитуд. С такого рода парадоксом мы впервые встретились в интерферен­ционном опыте, когда электроны проходили через две щели. Помните, мы тогда увидели, что временами кое-где получается меньше электронов, когда обе щели открыты, чем когда открыта одна. Численно это получается вот как. Можно написать ам­плитуду того, что атом пройдет в приборе (3.17) через Т и S' в виде суммы трех амплитуд — по одной для каждого из трех пучков в Т; эта сумма равна нулю:

Ни одна из трех отдельных амплитуд не равна нулю: например, квадрат модуля второй амплитуды есть ga [см. (3.15)], но их сумма есть нуль. Тот же ответ получился бы, если бы мы настро­или S’ на то, чтобы отбирать состояние (-S). Однако при рас­положении (3.16) ответ уже другой. Если обозначить амплитуду прохождения через Т и S' буквой а, то в этом случае мы будем иметь

В опыте (3.16) пучок сперва расщеплялся, а потом восста­навливался. Как мы видим, Шалтая-Болтая удалось собрать обратно. Информация о первоначальном состоянии (+ S) со­хранилась — все выглядит так, как если бы прибора Т вовсе не было. И это будет верно, что бы ни поставили за «до отказа раскрытым» прибором Т. Можно поставить за ним фильтр R — под каким-нибудь необычным углом — или что-угодно. Ответ будет всегда одинаков, как будто атомы шли в S' прямо из пер­вого фильтра S.

Итак, мы пришли к важному принципу: фильтр Т или любой другой с открытыми до отказа заслонками не приводит ни к каким изменениям. Надо только упомянуть одно добавочное условие. Открытый фильтр должен не только пропускать все три пучка, но и не вызывать в них неодинаковых возмущений. Например, в нем не должно быть сильного электрического поля близ одного из пучков, которого не было бы возле других. Причина заключается вот в чем: хотя это добавочное возмуще­ние может и не помешать всем атомам пройти сквозь фильтр, оно может привести к изменению фаз некоторых амплитуд. Тогда интерференция стала бы не такой, как была, и амплитуды (3.18) и (3.19) стали бы другими. Мы всегда будем предполагать, что таких добавочных возмущений нет.

Перепишем (3.18) и (3.19) в улучшенных обозначениях. Пусть i обозначает любое из трех состояний (+Т), (0Т) и (-Т); тогда уравнения можно написать так:

и

Точно так же в опыте, в котором S' заменяется совершенно произвольным фильтром R, мы имеем

S Т R Результаты будут всегда такими же, как если бы прибор Т убрали и осталось бы только

Или на математическом языке

Это и есть наш основной закон, и он справедлив всегда, если только i обозначает три базисных состояния любого фильтра. Заметьте, что в опыте (3.22) никакой особой связи между S, R и Т не было. Более того, рассуждения остались бы теми же независимо от того, какие состояния эти фильтры отбирают. Чтобы написать уравнение в общем виде без ссылок на какие-то особые состояния, отбираемые приборами S и R, обозначим через j состояние, приготовляемое первым прибором (в нашем частном примере +S), и через c — состояние, подвергаемое испытанию в конечном фильтре (в нашем примере +R). Тогда мы можем сформулировать наш основной закон (3.23) так:

где i должно пробегать по всем трем базисным состояниям некоторого определенного фильтра.

Хочется опять подчеркнуть, что мы понимаем под базисными состояниями. Они напоминают тройку состояний, которые мож­но отобрать с помощью одного из наших приборов Штерна — Герлаха. Одно условие состоит в том, что если у вас есть ба­зисное состояние, то будущее не зависит от прошлого. Другое условие — что если у вас есть полная совокупность базисных состояний, то формула (3.24) справедлива для любой сово­купности начальных и конечных состояний j и c. Но не сущест­вует никакой особой совокупности базисных состояний. Мы на­чали с рассмотрения базисных состояний по отношению к при­бору Т. В равной мере мы бы могли рассмотреть другую совокуп­ность базисных состояний — по отношению к прибору S, к прибору R и т. д. Мы обычно говорим о базисных состояниях «в каком-то представлении».

Другое требование к совокупности базисных состояний (в том или ином частном представлении) заключается в том, что им положено полностью отличаться друг от друга. Под этим мы понимаем, что если имеется состояние (+T), то для него нет амплитуды перейти в состояние (О Т) или (-Т). Если i и j обозначают два базисных состояния в некотором представлении, то общие правила, которые мы обсуждали в связи с (3.8), го­ворят, что

<j|i>=0

для любых неравных между собой i и j. Конечно, мы знаем, что

<i|i>=1.

Эти два уравнения обычно пишут так:

где d_ij («символ Кронекера») — символ, равный по определению нулю при i¹j и единице при i=j.

• Уравнение (3.25) не независимо от остальных законов, о кото­рых мы упоминали. Бывает, что нас не особенно интересует математическая задача поиска наименьшей совокупности неза­висимых аксиом, из которых все законы проистекут как след­ствия. Нам вполне достаточно обладать совокупностью, кото­рая полна и по виду непротиворечива. Однако мы беремся пока­зать, что (3.25) и (3.24) не независимы. Пусть j в (3.24) пред­ставляет одно из базисных состояний той же совокупности, что и i, скажем j-e состояние; тогда мы имеем

Но (3.25) утверждает, что <i|j> равно нулю, если только i не равно j, так что сумма обращается просто в <c|j} и полу­чается тождество, что говорит о том, что эти два закона не не­зависимы.

Можно видеть, что если справедливы оба уравнения (3.25) и (3.24), то между амплитудами должно существовать еще одно соотношение. Уравнение (3.10) имело вид

Если теперь посмотреть на (3.24) и предположить, что и j, и c — это состояние (+S), то слева получится <+S|+S>, а это, конечно, равно единице, и мы должны получить (3.19)

Эти два уравнения согласуются друг с другом (для всех относи­тельных ориентации приборов Т и S) только тогда, когда

Стало быть, для любых состояний j и c

Если бы этого не было, вероятности «не сохранились бы» и частицы «терялись бы».

Прежде чем идти дальше, соберем все три общих закона для амплитуд, т. е. (3.24) —(3.26):

В этих уравнениях i и j относятся ко всем базисным состояниям какого-то одного представления, тогда как j и c — это любое возможное состояние атома. Важно отметить, что закон II справедлив лишь тогда, когда суммирование проводится по всем базисным состояниям системы (в нашем случае по трем: +Т, 0Т, -Т). Эти законы ничего не говорят о том, что сле­дует избирать в качестве базиса. Мы начали с прибора Т, ко­торый является опытом Штерна — Герлаха с какой-то произ­вольной ориентацией, но и всякая другая ориентация, скажем W, тоже подошла бы. Вместо i и j нам пришлось бы ставить другую совокупность базисных состояний, но все законы оста­лись бы правильными; какой-то единственной совокупности не существует. Успех в квантовой механике часто определяется тем, умеете ли вы использовать тот факт, помня, что расчет можно вести из-за этого разными путями.

§ 6. Механика квантовой механики

Мы покажем вам сейчас, почему полезны эти законы. Пусть у нас есть атом в заданном состоянии (под этим мы подразумеваем, что он как-то был приготовлен), и мы хотим знать, что с ним бу­дет в таком-то опыте. Иными словами, мы начинаем с состояния j атома и хотим знать, каковы шансы, что он пройдет через при­бор, который пропускает атомы только в состоянии c. Законы го­ворят, что мы можем полностью описать прибор тремя комплексными числами <c|i> — амплитудами того, что каждое из базисных состояний окажется в состоянии c, и что мы, пустив атом в прибор, можем предсказать, что произойдет, если опишем состояние атома, задав три числа <i|j>,— амплитуды того что атом из своего первоначального состояния перейдет в лю­бое из трех базисных состояний. Это очень и очень важная идея, Рассмотрим другую иллюстрацию. Подумаем о следующей задаче. Начинаем с прибора S, затем имеется какая-то сложная мешанина, которую мы обозначаем A, а дальше стоит прибор R:

Под А мы подразумеваем любое сложное расположение прибо­ров Штерна — Герлаха — с перегородками и полуперегород­ками, под всевозможными углами, с необычными электрически­ми и магнитными полями,— словом, годится все, что вам придет в голову. (Очень приятно ставить мысленные эксперименты — тогда нас не тревожат никакие заботы, возникающие при реаль­ном сооружении приборов!) Задача состоит в следующем: с какой амплитудой частица, входящая в область A в состоянии (+S), выйдет из него в состоянии (0R), так что сможет пройти через последний фильтр R? Имеется стандартное обозначение для такой амплитуды:

<0R|A|+S>.

Как обычно, это надо читать справа налево: < Конец | Через | Начало>.

Если случайно окажется, это А ничего не меняет, а просто яв­ляется открытым каналом, тогда мы пишем

<0R |1|+S>=<0R|+S>; (3.29)

эти два символа равнозначны. В более общих задачах мы можем заменить (+S) общим начальным состоянием j, а (0R) — об­щим конечным состоянием c и захотеть узнать амплитуду

<c|A|j>.

Полный анализ прибора А должен был бы дать нам амплитуду <c|А|j> для каждой мыслимой пары состояний j и c — бес­конечное количество комбинаций! Как же сможем мы тогда дать краткое описание поведения прибора А? Это можно сде­лать следующим путем. Вообразим, что мы видоизменили прибор (3.28) так:

На самом деле это вовсе не видоизменение, потому что широко раскрытые приборы Т ничего нигде не меняют. Но они подска­зывают нам, как проанализировать проблему. Имеется опре­деленная совокупность амплитуд <i|+S> того, что атомы из S перейдут в состояние i прибора Т. Затем имеется другая совокупность амплитуд того, что состояние i (по отношению к Т), войдя в А, выйдет оттуда в виде состояния j (по отношению к Т). И наконец, имеется амплитуда того, что каждое состоя­ние j пройдет через последний фильтр в виде состояния (0R). Для каждого допустимого пути существует амплитуда вида

<0R|j><j|A|i><i|+S>,

и полная амплитуда есть сумма членов, которые можно полу­чить из всех сочетаний i и j. Нужная нам амплитуда равна

Если (О Л) и (+S) заменить общими состояниями c и j, то полу­чится выражение такого же рода; так что общий результат выглядит так:

Теперь заметьте, что правая часть (3.32) на самом деле «проще» левой части. Прибор А полностью описан девятью числами <j|А|i>, сообщающими, каков отклик А на три базисных состояния прибора Т. Как только мы узнаем эту де­вятку чисел, мы сможем управиться с любой парой входных и выходных состояний j и c, если только определим каждое из них через три амплитуды перехода в каждое из трех базисных состояний (или выхода из них). Результат опыта предсказы­вается с помощью уравнения (3.32).

В этом и состоит основной вывод квантовой механики частицы со спином 1. Каждое состояние описывается тройкой чисел — амплитудами пребывания в каждом из базисных состояний (из избранной их совокупности). Всякий прибор описывается де­вяткой чисел — амплитудами перехода в приборе из одного ба­зисного состояния в другое. Зная эти числа, можно подсчитать что угодно.

Девятка амплитуд, описывающая прибор, часто изобра­жается в виде квадратной матрицы, именуемой матрицей

<j|A|i>:

Вся математика квантовой механики является простым расши­рением этой идеи. Приведем несложный пример. Пусть име­ется прибор С, который мы хотим проанализировать, т. е. рассчитать различные <j|С|i>. Скажем, мы хотим знать, что случится в эксперименте типа

Но затем мы замечаем, что С просто состоит из двух частей: стоящих друг за другом приборов А и В. Сперва частицы про­ходят через А, а потом — через B, т. е. можно символически записать

Мы можем прибор С назвать «произведением» А и В. Допустим также, что мы уже знаем, как эти две части анализировать; таким образом, мы можем узнать матрицы А и В (по отношению к Т). Тогда наша задача решена. Мы легко найдем <c|С|j> для любых входных и выходных состояний. Сперва мы напишем

Понимаете, почему? (Подсказка: представьте, что между А к В поставлен прибор Т.) Если мы затем рассмотрим особый случай, когда j и c также базисные состояния (прибора Т), скажем i и j, то получим

Это уравнение дает нам матрицу прибора «произведения» С через матрицы приборов А и В. Математики именуют новую матрицу <j|С|i>, образованную из двух матриц <j|В|i> и <j|А|i> в соответствии с правилом, указанным в (3.36), матричным «произведением» ВА двух матриц В и А. (Заметьте, что порядок существен, АВ¹ВА.) Итак, можно сказать, что матрица для стоящих друг за другом двух частей прибора — это матричное произведение матриц для этих двух приборов порознь (причем первый прибор стоит в произведении справа). И каждый, кто знает матричную алгебру, поймет, что речь идет просто об уравнении (3.36).

§ 7. Преобразование к другому базису

Мы хотим сделать одно заключительное замечание относи­тельно базисных состояний, используемых в расчетах. Предпо­ложим, мы захотели работать с каким-то определенным базисом, скажем с базисом S, а кто-то другой решает провести те же расчеты с другим базисом, скажем с базисом Т.

Для конкретности назовем наши базисные состояния состоя­ниями (iS), где i= +, 0, -, а его базисные состояния назовем (jT). Как сравнить его работу с нашей? Окончательные ответы для результатов любых измерений обязаны оказаться одинако­выми, но употребляемые в самих расчетах всевозможные мат­рицы и амплитуды будут другими.

Как же они соотносятся? К примеру, если оба мы начи­наем с одного и того же j, то мы опишем это j на языке трех амплитуд <iS|j> — амплитуд того, что j переходит в наши базисные состояния в представлении S, а он опишет это j ам­плитудами <jТ|j> — амплитудами того, что состояние j переходит в базисные состояния в его, Т, представлении. Как проверить, что мы оба на самом деле говорим об одном и том же состоянии j? Это можно сделать с помощью нашего общего пра­вила II [см. (3.27)]. Заменяя c любым из его состояний jT, напишем

Чтобы связать оба. представления, нужно задать только девять комплексных чисел — матрицу <jT|iS>, Эту матрицу затем можно использовать для того, чтобы перевести все его урав­нения в нашу форму. Она сообщает нам, как преобразовать одну совокупность базисных состояний в другую. (По этой причине <jT|iS> иногда именуют «матрицей преобразования от представления S к представлению T». Слова ученые!)

Для случая частиц со спином 1, у которых бывает только тройка базисных состояний (у высших спинов их больше), математическая ситуация напоминает то, что мы видели в век­торной алгебре. Каждый вектор может быть представлен тремя числами — компонентами вдоль осей х, у и z. Иначе говоря, всякий вектор может быть разложен на три «базисных» вектора, т. е. векторы вдоль этих трех осей. Но предположим, что кто-то другой решает выбрать другую тройку осей: x', y' и z'. Чтобы представить любой частный вектор, он воспользуется другими (а не теми, что мы) числами. Его выкладки не будут похожи на наши, но окончательный итог окажется таким же. Мы это уже рассматривали раньше и знаем правила преобразования векто­ров от одной тройки осей к другой.

Вам может захотеться увидать, как действуют квантовомеханические преобразования, и самим попробовать их проде­лать; для этого мы приведем здесь без вывода матрицы преобра­зований амплитуд спина 1 от представления S к другому пред­ставлению Т для разных взаимных ориентации фильтров S и Т. (В следующих главах мы покажем, как получаются эти результаты.)

Первый случай. У прибора Т ось у (вдоль которой дви­жутся частицы) та же самая, что и у S, но Т повернут вокруг общей оси у на угол а (на фиг. 3.6). (Чтобы быть точными, ука­жем, что в приборе Т установлена система координат х' , у', z', связанная с координатами х, у, z прибора S формулами z'=zcosa+хsina; х'=хcosa- zsina; у' = у.) Тогда ам­плитуды преобразований таковы:

(3.38)

Второй случай. Прибор Т имеет ту же ось г, что и S, но повернут относительно оси z на угол b. (Преобразование координат: z'=z; х' =xcosb+ysinb; у'=уcosb- хsinb.) Тогда амплитуды преобразований суть

(3.39)

Заметьте, что любые вращения Т можно составить из опи­санных двух вращений.

Если состояние j определяется тремя числами

и если то же состояние описывается с точки зрения Т тремя числами

тогда коэффициенты <jT| iS> из (3.38) и (3.39) дают преоб­разования, связывающие С_i и С'_i. Иными словами. С; очень походят на компоненты вектора, который с точек зрения S и Т выглядит по-разному.

Только у частицы со спином 1 (потому что ей требуются как раз три амплитуды) есть такое тесное соответствие с векторами. Здесь во всех случаях имеется тройка чисел, которая обязана преобразовываться при изменениях координат определенным известным образом. И действительно, здесь есть и такая сово­купность базисных состояний, которая преобразуется в точ­ности, как три компоненты вектора. Три комбинации

преобразуются в С'_х, С'_у, С'_z как раз так же, как х, у, z преобра­зуются в х', у', z' . [Вы можете проверить это с помощью законов преобразований (3.38) и (3.39).] Теперь вы понимаете, почему частицу со спином 1 часто называют «векторной частицей».

§ 8. Другие случаи

Мы начали с того, что подчеркнули, что наши рассуждения о частице со спином 1 явятся прототипом любых квантовомеханических задач. Обобщения требует только количество состояний. Вместо тройки базисных состояний в других случаях может потребоваться n базисных состояний. Форма наших основных законов (3.27) останется той же, если только понимать, что i и j должны пробегать по всем n базисным состояниям. Любое явление можно проанализировать, задав амплитуды того, что оно начинается с любого базисного состояния и кончается тоже в любом базисном состоянии, а затем просуммировав по всей полной системе базисных состояний. Можно использовать лю­бую подходящую систему базисных состояний, и каждый впра­ве выбрать ту, которая ему по душе; связь между любой парой базисов осуществляется матрицей преобразований nXn. Позже мы подробнее расскажем об этих преобразованиях.

Наконец, мы пообещали рассказать о том, что надо делать, если атомы прямо из печи проходят через какой-то прибор А и затем анализируются фильтром, который отбирает состояние c. Вы не знаете, каково то состояние j, в котором они входят в прибор. Лучше всего, наверное, было бы, если бы вы, не думая пока об этой проблеме, занимались такими задачами, в ко­торых вначале имеются только чистые состояния. Но если уж вы на этом настаиваете, так вот как расправляются с этой про­блемой.

Прежде всего вы должны быть в состоянии сделать разумные предположения о том, каким образом распределены состояния в атомах, которые выходят из печи. Например, если в печи нет чего-либо «особого», то разумно предположить, что атомы по­кидают печь, будучи «ориентированы» как попало. Квантовомеханически это соответствует вашему утверждению о том, что о состояниях вы не знаете ничего, кроме того, что треть ато­мов находится в состоянии (+S), треть — в состоянии (0S) и треть — в состоянии (-S). Для пребывающих в состоянии (+S) амплитуда пройти сквозь А есть <c|А|+S>, а вероят­ность |<c|А|+S>|². То же и для других. Общая вероят­ность тогда равна

Но почему мы пользовались S, а не Т или каким-нибудь другим представлением? Дело в том, что, как это ни странно, ответ не зависит от того, каким было исходное разложение; он один и тот же, если только мы имеем дело с совершенно случайными ориентациями. Таким же образом получается, что

для любого c. (Докажите-ка это сами!)

Заметьте, что неверно говорить, будто входные состояния обладают амплитудой Ö¹/₃ быть в состоянии (+S), Ö¹/₃ в состоянии (0S) и Ö¹/₃ в состоянии (-S); если бы это было так, были бы допустимы какие-то интерференции. Здесь вы просто не знаете, каково начальное состояние; вы обязаны думать на языке вероятностей, что система сперва находится во всевоз­можных мыслимых начальных состояниях, и затем взять средне­взвешенное по всем возможностям.

* Число базисных состояний n может оказаться (и, вообще говоря, бывает) равным бесконечности.

* И в самом деле, для атомных систем с тремя или более базисными состояниями существуют другие типы фильтров (совершенно непохожие на приборы Штерна —Герлаха), которые можно было бы употребить для выбора других совокупностей базисных состояний (но при том же общем иx числе).

* Из этого опыта мы на самом деле не можем заключить, что а= 1, а видим только, что |а|²=1, следовательно, а может быть e^id, но можно показать, что при выборе d=0 мы ничего существенного здесь не по­теряли.

* На языке наших прежних обозначений

* Мы не собираемся вкладывать в слова «базисное состояние» что-либо сверх того, что здесь сказано. Не следует переводить «базис» как «основу» и хоть в каком-то смысле считать их «основными состояниями». Слово «базис» понимается как «система описания», скажем, в таком смыс­ле, как в выражении «число в десятичной системе».

* Произносить надо так: (+S)—«плюс-S»; (0S) — «нуль-S»; (-S)— «минус-S».