AllPhysics.ru

§ 1. Поляризация вещества

§ 2. Уравнения Максвелла в диэлектрике

§ 3. Волны в диэлектрике

§ 4. Комплексный показатель преломления

§ 5. Показатель преломления смеси

§ 6. Волны в металлах

§ 7.Низкочастотное и высокочастотное приближение глубина скин-слоя и плазменная частота

Повторить: всё что в табл. 32.

§ 1. Поляризация вещества

Здесь я хочу обсудить явления преломления света, ну и, разумеется, его поглощение плот­ным веществом. Теорию показателя преломле­ния мы уже рассматривали в гл. 31 (вып. 3), но тогда наши знания математики были весьма ограничены и мы остановились только на по­казателе преломления веществ с малой плотно­стью наподобие газов. Но физические принципы, приводящие к возникновению показателя пре­ломления, мы там все же выяснили. Электри­ческое поле световой волны поляризует мо­лекулы газа, создавая тем самым осцилли­рующие дипольные моменты, а ускорение ос­циллирующих зарядов приводит к излучению новых волн поля. Это новое поле, интерфери­руя со старым, изменяет его. Изменение поля эквивалентно тому, что происходит сдвиг фазы первоначальной волны. Из-за того что сдвиг фазы пропорционален толщине материала, эф­фект в целом оказывается эквивалентным из­менению фазовой скорости света в материале. Прежде, когда рассматривалось это явление, мы пренебрегали усложнениями, возникаю­щими от таких эффектов, как действие новой измененной волны на поле осциллирующего диполя. Мы предполагали, что силы, действую­щие на заряды атомов, определяются только падающей волной, тогда как на самом деле на осциллятор действует не только падающая волна, но и волны, излученные другими атомами. В то время нам еще было трудно учесть этот эф­фект, поэтому мы изучали только разреженные газы, где его можно считать несущественным.

Ну а теперь мы увидим, что эта задача с помощью дифференциальных уравнений решается совсем просто. Конечно, дифференциальные уравнения затуманивают физическую причину возникновения преломле­ния (как результата интерференции вновь излученных волн с первоначальными), но зато они упрощают теорию плотного материала. В этой главе сойдется вместе многое из того, что мы делали уже раньше. Практически мы уже получили все, что нам потребуется, так что по-настоящему новых идей в этой главе будет сравнительно немного. Поскольку вам может понадобиться освежить в памяти то, с чем мы здесь столкнемся, то в табл. 32.1 приводится список уравнений, которые я соби­раюсь использовать вместе со ссылкой на те места, где их можно найти. Во многих случаях из-за нехватки времени я не смогу снова останавливаться на физических аргументах, а сразу же буду браться за уравнения.

Таблица 32.1 • ЧТО БУДЕТ ИСПОЛЬЗОВАНО В ЭТОЙ ГЛАВЕ

Начну с напоминания о механизме преломления в газе. Мы предполагаем, что в единице объема газа находится N ча­стиц и каждая из них ведет себя как гармонический осциллятор. Мы пользуемся моделью атома или молекулы, к которой элект­рон привязан силой, пропорциональной его перемещению (как будто он удерживается пружинкой). Отметим, что такая модель атома с классической точки зрения незаконна, однако позднее будет показано, что правильная квантовомеханическая теория дает (в простейших случаях) эквивалентный результат. В наших прежних рассмотрениях мы не учитывали «тормозящей» силы в атомном осцилляторе, а сейчас это будет сделано. Такая сила соответствует сопротивлению при движении, т. е. она пропор­циональна скорости электрона. Уравнением движения при этом будет

F=q_eE =m(x+gx+w²₀x), (32.1)

где х — перемещение, параллельное направлению поля Е. (Осциллятор предполагается изотропным, т. е. восстанавли­вающая сила одинакова во всех направлениях. Кроме того, на время мы ограничимся линейно поляризованной волной, так что поле Е не меняет своего направления.) Если действую­щее на атом электрическое поле изменяется со временем сину­соидально, то мы пишем.

E=E₀e^iwt. (32.2)

С той же самой частотой будет осциллировать и перемещение, поэтому можно считать

х=х₀е^iwt .

Подставляя х=iwх и х=-w²х, можно выразить х через Е:

А зная перемещение, можно вычислить ускорение х и найти от­ветственную за преломление излученную волну. Именно таким способом в гл. 31 (вып. 3) мы подсчитывали показатель пре­ломления.

Теперь же мы пойдем другим путем. Индуцированный дипольный момент атома р равен q_ex, или в силу уравнения (32.3)

Так как р пропорционально Е, то мы пишем

р=e₀a(w)Е, (32,5) где a — атомная поляризуемость:

Подобный же ответ для движения электронов в атоме дает и квантовая механика, но с учетом следующих особен­ностей. У атомов есть несколько собственных частот, каждая из которых имеет свою диссипативную постоянную g. Кроме того, каждая гармоника имеет еще свою эффективную «силу», выражаемую в виде произведения поляризуемости при дан­ной частоте на постоянную связи f, которая, как ожидается, по порядку величины равна единице. Обозначая каждый из трех параметров w₀, g и f для каждой из гармоник через w_ok, g_k и f_k и суммируя по всем гармоникам, мы вместо (32.6) получаем

Если число атомов в единице объема вещества равно N, то поляризация Р будет просто Np=e₀NaE, т. е. пропорцио­нальна Е:

Р=e₀Na(w)Е. (32.8)

Другими словами, когда на материал действует синусоидальное электрическое поле, оно индуцирует пропорциональный себе дипольный момент, причем константа пропорциональности а, как мы уже отмечали, зависит от частоты. При очень больших частотах a мала: реакция материала слабая. А вот при низких частотах реакция может быть очень сильной. Константа про­порциональности, кроме того, еще оказывается комплексной, т. е. поляризация не следует точно за всеми изменениями элект­рического поля, а в какой-то степени может быть сдвинута по фазе. Во всяком случае, электрическое поле вызывает в мате­риале поляризацию, пропорциональную его напряженности.

§ 2. Уравнения Максвелла в диэлектрике

Наличие в веществе поляризации означает, что там возни­кают поляризационные заряды и токи, которые необходимо учитывать в полных уравнениях Максвелла при нахождении полей. Сейчас мы собираемся решать уравнения Максвелла для случая, когда заряды и токи не равны нулю, но неявно опреде­ляются вектором поляризации. Нашим первым шагом должно быть явное нахождение плотности зарядов r и плотности тока j, усредненных по тому же самому малому объему, который имел­ся в виду при определении вектора Р. Потом необходимые нам значения r и j могут быть определены из поляризации. В гл. 10 (вып. 5) мы видели, что когда поляризация Р меняется от точки к точке, то возникает плотность зарядов:

r_пол=-Ñ•Р. (32.9)

В то время мы имели дело со статическими полями, но эта же формула справедлива и для переменных полей. Но когда Р изменяется со временем, заряды движутся, так что появляется поляризационный ток. Каждый из осциллирующих зарядов вносит в ток свой вклад, равный произведению его заряда q_e на скорость v. Когда же таких зарядов в единице объема N штук, то они создают плотность тока j:

j=Nq_ev.

Ну а поскольку известно, что v=dx/dt, то j=Nq_edx/dt, что как раз

равно dP/dt. Следовательно, при переменной поляризации воз­никает плотность тока

j_пол=dP/dt (32.10)

Наша задача стала теперь простой и понятной. Мы пишем уравнения Максвелла с плотностями заряда и тока, определяе­мыми поляризацией Р посредством уравнений (32.9) и (32.10). (Предполагается, что других зарядов и токов в веществе нет.) Затем мы свяжем Р с Е формулой (32.5) и будем разрешать их относительно Е и В, отыскивая при этом волновое решение.

Но прежде чем приступить к решению, мне бы хотелось сде­лать одно замечание исторического характера. Первоначально Максвелл писал свои уравнения в форме, отличающейся от той, в которой они используются нами. И именно потому, что урав­нения писались в другой форме в течение многих лет (да и сей­час многими пишутся так), я постараюсь объяснить вам разни­цу. В те дни механизм диэлектрической проницаемости не был понятен с ясностью и полнотой. Не была ясна ни природа ато­мов, ни существование поляризации в веществе. Поэтому тогда не понимали, что Ñ•P дает дополнительный вклад в плотность заряда р. Были известны только заряды, не связанные в атомах (такие, как заряды, текущие по проводу или возникающие при трении).

Сегодня же мы предпочитаем обозначать через r полную плотность зарядов, включая в нее и заряды, связанные с инди­видуальными атомами. Если назвать эту часть зарядов r_пол, то можно написать

r=r_пол+r_др,

где r_др— плотность зарядов, учтенная Максвеллом и относя­щаяся к другим зарядам, не связанным с определенными атомами. При этом мы бы написали

После подстановки r_пол из (32.9) получаем

или

В плотность тока, фигурирующую в уравнениях Макс­велла для ÑXB, вообще говоря, тоже вносится вклад от связанных атомных электронных токов. Поэтому мы можем написать

j=j_пол+j_др,

причем уравнение Максвелла приобретает вид

Используя уравнение (32.10), получаем

Теперь вы видите, что если бы мы определили новый вектор D

D=e₀E+P, (32.14)

то два уравнения поля приняли бы вид

Ñ•D=r_др (32.15)

и

Это и есть та форма уравнений, которую использовал Мак­свелл для диэлектриков. А вот и остальные два уравнения:

ÑXЕ=-дB/дt

и

Ñ•B=0,

которые в точности совпадают с нашими.

Перед Максвеллом и другими учеными того времени вставала проблема магнетиков (за них мы вскоре примемся). Они ничего не знали о циркулирующих токах, ответственных за атомный магнетизм и поэтому, в плотности тока утеряли еще одну часть. Вместо уравнения (32.16) они на самом деле писали

где Н отличается от e₀с²В, так как последнее учитывает эффекты атомных токов. (При этом j' представляет то, что осталось от то­ков.) Таким образом, у Максвелла было четыре полевых век­тора: Е, D, В и Н, причем в D и Н скрывалось то, на что он не обратил внимания,— процессы, происходящие внутри вещест­ва. Уравнения, написанные в таком виде, вы встретите во мно­гих местах.

Чтобы решить их, необходимо как-то связать D и Н с дру­гими полями, поэтому зачастую писали

D =eE

и

В=mH. (32.18)

Однако эти связи верны лишь приближенно для некоторых ве­ществ, и то лишь когда поля не изменяются слишком быстро со временем. (Для синусоидально изменяющихся полей зачастую можно писать уравнения таким способом, считая при этом e и m комплексными функциями частоты, но для произволь­ных изменений поля со временем это неверно.) На какие только ухищрения не пускаются ученые, чтобы решить уравнения! А мне кажется, что правильнее всего оставить уравнения запи­санными через фундаментальные величины, как мы понимаем их теперь, т. е. как раз то, что мы и проделали.

§ 3. Волны в диэлектрике

Теперь нам предстоит выяснить, какого сорта электро­магнитные волны могут существовать в диэлектрическом ве­ществе, где других зарядов, кроме тех, что связаны в атомах,

нет. Таким образом, мы возьмем r=-Ñ•Р и j=дP/дt . При этом уравнения Максвелла примут такой вид:

Мы можем решить эти уравнения, как делали это прежде. Начнем с применения к уравнению (32.19в) операции ротора:

ÑX(ÑXE)=-(д/дt)ÑXB.

Используя затем векторное тождество

ÑX(ÑXE) = Ñ(Ñ•E)-ѲE и подставляя выражение для ÑXB из (32.19б), получаем

Используя уравнение (32.19а) для Ñ•Е, находим

Таким образом, вместо волнового уравнения мы теперь полу­чили, что даламбертиан Е равен двум членам, содержащим по­ляризацию Р.

Однако Р зависит от Е, поэтому уравнение (32.20) все еще допускает волновые решения. Сейчас мы будем ограничиваться изотропными диэлектриками, т. е. Р всегда будет иметь то же направление, что и Е. Попробуем найти решение для волны, движущейся в направлении оси z. Электрическое поле при этом будет изменяться как еⁱ(^wt-kz). Предположим также, что волна поляризована в направлении оси х, т. е. что электрическое поле имеет только x-компоненту. Все это записывается следую­щим образом:

E_x=E₀e^i(wt-kz). (32.21)

Вы знаете, что любая функция от (z-vt) представляет вол­ну, бегущую со скоростью v. Показатель экспоненты в выраже­нии (32.21) можно переписать в виде

-ik[z-(w/k)t],

так что выражение (32.21) представляет волну, фазовая ско­рость которой равна

v_фаз=w/k.

В гл. 31 (вып. 3) показатель преломления n определялся нами из формулы

v_фаз=c/n.

С учетом этой формулы (32.21) приобретает вид

Ex=E₀e^iw(t-nz/c).

Таким образом, показатель n можно определить, если мы най­дем ту величину k, которая необходима, чтобы выражение (32.21) удовлетворяло соответствующим уравнениям поля, и затем воспользуемся соотношением

n=kc/w. (32.22)

В изотропном материале поляризация будет иметь только x-компоненту; кроме того, Р не изменяется с изменением коор­динаты х, поэтому Ñ•P=0 и мы сразу же избавляемся от пер­вого члена в правой стороне уравнения (32.20). Вдобавок мы считаем наш диэлектрик «линейным», поэтому Р_х будет изме­няться как е^iwt и d²P_x/dt²= -w²P_x. Лапласиан же в уравне­нии (32.20) превращается просто в д²E_x/dz²=-k2Е_x, так что в результате получаем

Теперь на минуту предположим, что раз Е изменяется си­нусоидально, то Р можно считать пропорциональной Е, как в уравнении (32.5). (Позднее мы вернемся к этому предположе­нию и обсудим его.) Таким образом, пишем

P_x=e₀NaE_x.

При этом Е_х выпадает из уравнения (32.23), и мы находим

k²=w²/c²(1+Na). (32.24)

Мы получили, что волна вида (32.21) с волновым числом k, задаваемым уравнением (32.24), будет удовлетворять уравне­ниям поля. Использование же выражения (32.22) для показате­ля n дает

n² = l+Na. (32.25)

Сравним эту формулу с тем, что получилось у нас для пока­зателя преломления газа (гл. 31, вып. 3). Там мы нашли урав­нение (31.19), которое тогда имело вид

Формула (32.25) после подстановки w из (32.6) дает

Что здесь нового? Во-первых, появился новый член igw, возникший в результате учета поглощения энергии в осцилля­торах. Во-вторых, слева вместо n теперь стоит n² и, кроме того, отсутствует дополнительный множитель ¹/₂. Но заметьте, что если значение N достаточно мало, так что n близок к единице (как это имеет место в газе), то выражение (32.27) говорит, что n² равен единице плюс некое малое число, т. е. n²=1+e. При этом условии мы можем написать, что n=Ö(1+e)»l+e/2, и оба выра­жения оказываются эквивалентными. Таким образом, наш но­вый метод дает для газа тот же самый, найденный нами ранее результат.

Теперь можно надеяться, что выражение (32.27) должно давать показатель преломления и для плотных материалов. Но по некоторым причинам оно нуждается в модификации. Во-первых, при выводе этого уравнения предполагалось, что поля­ризованное поле, действующее на каждый из атомов,— это поле Е_х. Однако такое предположение неверно, поскольку в плотном материале существуют и другие поля, создаваемые соседними атомами, которые могут быть сравнимы с Е_х. Анало­гичную задачу мы уже рассматривали при изучении статических полей в диэлектрике (см. гл. 11, вып. 5). Вы, вероятно, помните, что мы нашли поле, действующее на отдельный атом, представив его сидящим в сферической полости в окружающем диэлектрике. Поле в такой полости (мы назвали его локальным) увеличивается по сравнению со средним полем Е на величину Р/3e₀. (Не за­будьте, однако, что этот результат, строго говоря, справедлив только для изотропного материала, а также в случае куби­ческого кристалла.)

Те же рассуждения верны и для электрического поля в вол­не, но до тех пор, пока длина ее много больше расстояния между атомами. При таком ограничении

Именно это локальное поле следует использовать вместо Е в (32.8), т. е. это выражение должно быть переписано следую­щим образом:

Р =e₀NaЕ_лок. (32.29)

Подставляя теперь Е_лок из формулы (32.28), находим

или

Иными словами, Р для плотного материала все еще пропорцио­нальна Е (для синусоидального поля). Однако константа про­порциональности будет уже e₀/Na/[1-(Na/3)], а не e₀Nallfa, как раньше. Таким образом, нам нужно поправить формулу (32.25):

Более удобно переписать это в виде

который алгебраически эквивалентен прежнему. Это и есть известная формула Клаузиуса — Моссотти.

В плотном материале возникает и другое усложнение. По­скольку атомы расположены слишком тесно, они сильно взаимо­действуют друг с другом. Поэтому внутренние гармоники осцил­ляции изменяются. Собственные частоты атомных осцилляций размазываются этими взаимодействиями и обычно весьма сильно подавляются ими, а коэффициент трения становится очень боль­шим. Таким образом, все w₀ и g твердого вещества будут дру­гими, чем для свободных атомов. С этой оговоркой мы все-таки можем представлять а, по крайней мере приближенно, уравнением (32.7), так что

Наконец, последнее усложнение. Если плотный материал представляет собой смесь нескольких компонент, то каждая из них дает свой вклад в поляризацию. Полная a будет суммой вкладов различных компонент смеси [за исключением неточ­ности приближения локального поля в упорядоченных кри­сталлах, т. е. выражения (32.28) — эффекты, которые мы обсуж­дали при разборе сегнетоэлектриков]. Обозначая через n_j число атомов каждой компоненты в единице объема, мы должны заменить формулу (32.32) следующей:

где каждая a_j будет определяться выражением типа (32.7). Выражение (32.34) завершает нашу теорию показателя прелом­ления. Величина 3(n²-1)/(n²+2) задается комплексной функ­цией частоты, каковой является средняя атомная поляризуе­мость a(w). Точное вычисление a(w) (т. е. нахождение f_k, g_k и w_0k) для плотного вещества — одна из труднейших задач квантовой механики. Это было сделано только для нескольких особенно простых веществ.

§ 4. Комплексный показатель преломления

Обсудим теперь следствия нашего результата (32.33). Прежде всего обратите внимание на то, что a — комплексное число, так что показатель преломления n тоже оказывается комплексным. Что это означает? Давайте возьмем и запишем n в виде веществен­ной и мнимой частей:

где n_R и n_j — вещественные функции w. Мы написали in_j с отрицательным знаком, так что n_j для обычных оптических материалов будет положительной величиной. (Для обычных оптически неактивных материалов, которые не служат сами источниками света, как это происходит у лазеров, g—положитель­ное число, а это делает мнимую часть n отрицательной.) Наша: плоская волна запишется теперь через n следующим образом:

Е_х=Е₀е^-iw(t-nz/c).

Если подставить n в виде выражения (32.35), то мы получим

и с увеличением z она экспоненциально убывает. График напря­женности электрического поля как функции от z в некоторый момент времени и для n_I» n_R/2p показан на фиг. 32.1.

Фиг. 32.1. График поля Е_х в некоторый момент t при n_I»n_R2/p.

Мнимая часть показателя преломления из-за потерь энергии в атомных осцилляторах приводит к ослаблению волны. Интенсивность волны пропорциональна квадрату амплитуды, так что

Интенсивность ~е^-2wnIz/c.

Часто это записывается как

Интенсивность ~е^-bz,

где b=2wn_I/с — коэффициент поглощения. Таким образом, в уравнении (32.33) содержится не только теория показателя преломления вещества, но и теория поглощения им света.

В тех материалах, которые мы обычно считаем прозрачными, величина c/wn_I, имеющая размерность длины, оказывается гораздо больше толщины материала.

§ 5. Показатель преломления смеси

В нашей теории показателя преломления имеется еще одно предсказание, которое можно проверить экспериментально. Предположим, что мы рассматриваем смесь двух материалов. Показатель преломления смеси не будет средним двух показа­телей, а определяется через сумму двух поляризуемостей, как в уравнении (32.34). Если, скажем, мы интересуемся показа­телем преломления раствора сахара, то полная поляризуемость будет суммой поляризуемостей воды и сахара. Но каждая из них, разумеется, должна подсчитываться исходя из данных о числе молекул N данного сорта в единице объема. Другими сло­вами, если в данном растворе содержится N₁ молекул воды, поляризуемость которой a₁, и N₂ молекул сахарозы (C₁₂H₂₂O₁₁), поляризуемость которой a₂, то мы должны получить

Этой формулой можно воспользоваться для экспериментальной проверки нашей теории — измерения показателя для различ­ных концентраций сахарозы в воде. Однако здесь мы должны сделать несколько допущений. Наша формула предполагает, что при растворении сахарозы никакой химической реакции не происходит и что возмущение индивидуальных осцилляторов при различных частотах отличается не слишком сильно. Поэ­тому наш результат, безусловно, будет только приближенным. Тем не менее давайте посмотрим, насколько он хорош.

Раствор сахара мы выбрали потому, что мы располагаем хорошими данными измерений показателя преломления и, кроме того, сахар представляет собой молекулярный кристалл и переходит в раствор без ионизации и других изменений хими­ческого состояния.

В первых трех столбцах табл. 32.2 приведены данные из указанного справочника. В столбце А дан процент сахарозы по весу, в столбце В приведена измеренная плотность в г/см³, а в столбце С даны измерения показателя преломления света с длиной волны 589,3 ммк. В качестве показателя чистого сахара мы взяли результаты измерений для кристалла сахара. Эти кристаллы не изотропны, так что показатель преломления в разных направлениях различен.

Таблица 32.2 в ПОКАЗАТЕЛЬ ПРЕЛОМЛЕНИЯ РАСТВОРА САХАРА И СРАВНЕНИЕ С ПРЕДСКАЗАНИЕМ УРАВНЕНИЯ (32.37)

Справочник дает три вели­чины:

n₁=1,5376, n₂=1,5651, n₃=1,5705.

Мы взяли среднее.

Попытаемся теперь подсчитать n для каждой концентрации, но мы не знаем, какие нужно взять значения a₁ и a₂. Проверим теорию таким способом: будем предполагать, что поляризуемость воды (a₁) при всех концентрациях одна и та же, и подсчитаем поляризуемость сахарозы, используя экспериментальную ве­личину n и разрешая (32.37) относительно a₂. Если теория верна, то мы для любой концентрации должны получить одно и то же значение a₂.

Прежде всего нам нужно знать числа N₁ и N₂; выразим их через число Авогадро N₀. В качестве нашей единицы объема давайте возьмем один литр (1000 см³). Тогда отношение N_i/N₀ равно весу одного литра, поделенному на грамм-молекулу. А вес литра равен произведению плотности (умноженной на 1000, чтобы получить граммы) на весовую долю либо сахарозы, либо воды. Таким путем получаем N₂//N₀ и n₁/n₀, записанные в столбцах D и Е нашей таблицы. В столбце F мы подсчитали 3(n²-1)/(n²+2), исходя из экспериментальных значений n (столбец С). Для чистой воды 3(n²-1)/(n²+2) равно 0,617, что как раз будет N₁a₁. Затем мы можем заполнить остальную часть колонки G, поскольку для каждой строки отношение G/E должно быть одной и той же величиной, именно 0,617:55,5. Вычитая столбец G из столбца F, находим вклад N₂a₂, вносимый сахарозой, который записан в столбце Н. А затем, поделив эти данные на величину N₂/N₀ из столбца D, мы получаем величину N₀a₂, приведенную в столбце 1.

Из нашей теории мы ожидали, что все величины N₀a₂ должны получиться одинаковыми. Они получились хотя и не точно равными, но довольно близкими друг к другу. Отсюда можно заключить, что наши идеи правильны. Более того, мы нашли, что поляризуемость молекул сахара, по-видимому, не зависит сильно от ее окружения: их поляризуемость приблизительно одна и та же как в разбавленном растворе, так и в кристалле.

§ 6. Волны в металлах

Теорию, которая в этой главе развивалась для твердых мате­риалов, после очень небольшой модификации вполне можно применить и к хорошим проводникам типа металлов. На неко­торые из электронов в металлах не действует сила, привязы­вающая их к какому-то частному атому; это так называемые «свободные» электроны, ответственные за проводимость. Там есть и другие электроны, которые связаны в атомах, и изложен­ная выше теория непосредственно приложима именно к ним. Однако их влияние обычно «забивается» эффектами электронов проводимости. Поэтому сейчас мы рассмотрим только эффекты

свободных электронов.

Если на электрон не действует никакая восстанавливающая сила, но сопротивление его движению все же остается, то урав­нение движения электрона отличается от (32.1) только отсут­ствием члена w²₀х. Так что единственное, что нам нужно сделать,— это положить w²₀=0 во всей остальной части наших выводов. Но есть еще одно отличие. В диэлектриках мы должны различать среднее и локальное поля и вот почему: в изоляторе каждый из диполей занимает фиксированное положение по отношению к другим диполям. Но в металле из-за того, что электроны проводимости движутся и меняют свое место, поле, действующее на них, в среднем как раз равно среднему полю Е. Так что по­правка, которую мы сделали к формуле (32.5), не годится, т. е. применение формулы (32.28) для электронов проводимости недопустимо. Следовательно, выражение для показателя пре­ломления в металле должно выглядеть подобно выражению (32.27), в котором следует положить w₀=0, именно:

Это только вклад от электронов проводимости, которые, как мы думаем, играют в металлах главную роль.

Но теперь мы даже знаем, какой нам взять величину g, ибо она связана с проводимостью металла. В гл. 43 (вып. 4) мы обсудили связь проводимости металлов с диффузией свобод­ных электронов в кристалле. Электроны движутся по ломаному пути от одного соударения до другого, а между этими толчками они летят свободно, за исключением ускорения из-за какого-то среднего электрического поля (фиг. 32.2).

Фиг. 32.2. Движение свободного электрона.

Там же, в гл. 43 (вып. 4), мы нашли, что средняя скорость дрейфа равна просто произведению ускорения на среднее время между соударе­ниями t. Ускорение равно q_eE/m, так что

v_дрейф=(q_eE/m)t. (32.39)

В этой формуле поле Е считается постоянным, так что скорость v_дрейф тоже постоянна. Поскольку в среднем ускорение отсут­ствует, сила торможения равна приложенной силе. Мы опреде­лили g через силу торможения, равную gmv [см. (32.1)], или q_eE, поэтому получается, что

g=1/t (32.40)

Несмотря на то что мы не можем с легкостью измерять непо­средственно t, можно определять его, измеряя проводимость металла. Экспериментально обнаружено, что электрическое поле Е порождает в металлах ток с плотностью j, пропорцио­нальной Е (для изотропного материала, конечно):

причем постоянная пропорциональности s называется прово­димостью.

В точности то же самое мы ожидаем из выражения (32.39),

если положить

j=Nq_ev_дрейф,

тогда

Таким образом, t, а следовательно, и g могут быть связаны с наблюдаемой электрической проводимостью. Используя (32.40] и (32.41), можно переписать нашу формулу (32.38) для по­казателя преломления в виде

где

Это и есть известная формула для показателя преломления в металлах.

§ 7. Низкочастотное и высокочастотное приближения; глубина скин-слоя и плазменная частота

Наш результат для показателя преломления в металлах —формула (32.42) — предсказывает для распространения волн с разными частотами совершенно различные характеристики. Прежде всего давайте посмотрим, что получается при низких частотах. Если величина w достаточно мала, то (32.42) можно приближенно записать в виде

Возведением в квадрат можно проверить, что

таким образом, для низких частот

Вещественная и мнимая части n имеют одну и ту же величину. С такой большой мнимой частью n волны в металлах затухают очень быст­ро. В соответствии с выражением (32.36) амплитуда волны, идущей в направлении оси z, уменьшается как

Запишем это в виде

е^-z/d, (32.47)

где d — это то расстояние, на котором амплитуда волны умень­шается в е=2,72 раза, т. е. приблизительно в 3 раза. Ампли­туда такой волны, как функция от z, показана на фиг. 32.3.

Фиг. 32.3. Амплитуда попе­речной электромагнитной вол­ны в металле как функция расстояния.

Поскольку электромагнитные волны проникают в глубь металла только на это расстояние, величина d называется глубиной скин-слоя и определяется выражением

Но что все-таки мы понимаем под «низкими» частотами? Взглянув на уравнение (32.42), мы видим, что его можно приб­лиженно заменить уравнением (32.44), только когда wt много меньше единицы и когда we₀/s также много меньше единицы, т. е. наше низкочастотное приближение применимо при

w<<1/t

и

w<<s/e₀. (32.49)

Давайте посмотрим, какие частоты соответствуют этому приближению для такого типичного металла, как медь. Для вычисления t воспользуемся уравнением (32.43), а для вычис­ления s/e₀ — известными значениями s и e₀. Справочник дает нам такие данные:

s=5,76•10⁷ (ом•м)^-1,

Атомный вес = 63,5 г,

Плотность = 8,9 г/см³,

Число Авогадро=6,02•10²³.

Если мы предположим, что на каждый атом приходится по од­ному свободному электрону, то число электронов в кубическом метре будет равно

N=8,5•10²⁸ м^-3.

Используя далее

q_e=1,6•10^-19 кулон,

e₀=8,85•10^-12 ф/м,

m=9,11•10^-31 кг,

получаем

t=2,4•10^-14 сек,

1/t=4,l•10¹³ сек^-1,

s/e₀ = 6,5•10¹⁸ сек^-1.

Таким образом, для частот, меньших чем приблизительно 10¹² гц, медь будет иметь описанное нами «низкочастотное» пове­дение. (Это будут волны с длиной, большей 0,3 мм, т. е. очень короткие радиоволны!)

Для таких волн глубина скин-слоя равна

Для микроволн с частотой 10 000 Мгц (3-сантиметровые волны)

s=6,7•10^-4 см,

т. е. волны проникают на очень малое расстояние.

Теперь вы видите, почему при изучении полостей (и волно­водов) нам нужно беспокоиться только о полях внутри полости, а не о волнах в металле или вне полости. Кроме того, мы видим, почему серебрение или золочение полости уменьшает потери в ней. Ведь потери происходят благодаря токам, которые ощу­тимы только в тонком слое, равном глубине скин-слоя.

Рассмотрим теперь показатель преломления в металле типа меди при высоких частотах. Для очень высоких частот сот много больше единицы, и уравнение (32.42) очень хорошо аппрокси­мируется следующим:

Для высокочастотных волн показатель преломления в метал­лах становится чисто вещественным и меньшим единицы! Это следует также из выражения (32.38), если пренебречь диссипативным членом с 7, что может быть сделано при очень боль­ших значениях w. Выражение (32.38) дает при этом

что, разумеется, эквивалентно уравнению (32.50). Раньше нам

уже встречалась величина (Nq²_e/e₀m)^1/2, которую мы назвали

плазменной частотой (см. гл. 7, § 3, вып. 5);

Таким образом, (32.50) или (32.51) можно переписать в виде

Эта плазменная частота является своего рода «критической». Для w<w_р показатель преломления металла имеет мнимую часть и происходит поглощение волн, но при w>>w_p показатель становится вещественным, а металл — прозрачным. Вы знаете, конечно, что металлы в достаточной мере прозрачны для рент­геновских лучей. Но некоторые металлы прозрачны даже для ультрафиолета. В табл. 32.3 мы приводим для некоторых ме­таллов экспериментально наблюдаемые длины волн, при кото­рых эти металлы начинают становиться прозрачными. Во второй колонке дана вычисленная критическая длина волны l_p =2pc/w_p . Учитывая, что экспериментальная длина волны определена не очень хорошо, согласие с теорией следует приз­нать замечательным.

Таблица 32.3 • длины волн, при ко­торых МЕТАЛЛ СТАНО­ВИТСЯ ПРОЗРАЧНЫМ

Вас может удивить, почему плазменная частота w_р должна иметь отношение к распространению волн в металлах. Плаз­менная частота появилась у нас в гл. 7 (вып. 5) как собственная частота колебаний плотности свободных электронов. (Электри­ческое расталкивание группы электронов и их инерция приво­дят к колебаниям плотности.) Продольные волны плазмы резо­нируют при частоте w. Но сейчас мы говорим о поперечных вол­нах, и мы уже нашли, что при частотах, меньших w_р, происхо­дит их поглощение. (Это очень интересное и отнюдь не случайное совпадение.)

Хотя мы все время говорили о распространении волн в ме­таллах, вы одновременно, должно быть, почувствовали универ­сальность явлений физики: нет никакой разницы в том, находят­ся ли свободные электроны в металле, в плазме, в ионосфере Земли или в атмосфере звезд. Чтобы понять распространение радиоволн в ионосфере, можно воспользоваться тем же выраже­нием, разумеется, при надлежащих значениях величин N и t. Теперь мы можем видеть, почему длинные радиоволны погло­щаются или отражаются ионосферой, тогда как короткие сво­бодно проходят через нее. (Поэтому для связи с искусственными спутниками Земли должны применяться короткие волны.)

Мы говорили о распространении предельных высоко- и низ­кочастотных волн в металлах. Для промежуточных же частот необходимо использовать «полновесное» уравнение (32.42). В общем случае показатель преломления будет иметь веществен­ную и мнимую части, и при распространении волн в металлах происходит их поглощение. Очень тонкие слои металла про­зрачны даже для обычных оптических частот. В качестве примера приведем специальные защитные очки для рабочих, работаю­щих около высокотемпературных печей. Эти очки изготавли­ваются напылением на стекло очень тонкого слоя золота; стекло это достаточно прозрачно для видимого света и на просвет выглядит как зеленое, но инфракрасные лучи сильно поглощает.

И, наконец, от читателя невозможно скрыть тот факт, что многие из этих формул в некотором отношении напоминают формулы для диэлектрической проницаемости c, рассмотренные в гл. 10 (вып. 5). Диэлектрической проницаемостью c измеряется реакция материала на статическое электрическое поле, т. е. когда w=0. Если вы посмотрите повнимательнее на определе­ние n и c, то обнаружите, что c есть не что иное, как предел n² при w®0. В самом деле, положив в уравнениях этой главы w=0 и n²=c, мы воспроизведем уравнения теории диэлектри­ческой проницаемости гл. 11 (вып. 5).

* Или записав — i=е^-ip/2; Ö-i=e^-ip/4 = соsp/4- isinp/4, что приводит к тому же результату.

* Взяты из справочника «Handbook of Physics and Chemistry».

* Всюду в этой главе мы будем пользоваться обозначениями, приня­тыми в гл. 31 (вып. 3); пусть a — атомная поляризуемость, как это опреде­лено здесь. В предыдущей главе мы пользовались буквой a для обозначе­ния объемной поляризуемости, т. е. отношения Р к Е. Но в обозначениях этой главы P=Nae₀E [см. выражение (32.8)].