AllPhysics.ru

§ 1. Четырехмерный потенциал дви­жущегося заряда

§ 2. Поля точечного заряда, движу­щегося с посто­янной скоростью

§ 3. Релятивистское преобразование полей

§ 4. Уравнение движения в релятивистских обозначениях

В этой главе c=1

Повторить: гл. 20 «Решение урав­нений Максвелла в пустом пространстве»

§ 1. Четырехмерный потенциал движущегося заряда

В предыдущей главе мы видели, что потен­циал A_m =(j, А) является четырехвектором. Его временной компонентой служит скалярный по­тенциал j, а тремя пространственными компо­нентами— векторный потенциал А. Используя преобразования Лоренца, мы нашли также потенциал частицы, движущейся прямолинейно с постоянной скоростью. (В гл. 21 то же самое было сделано несколько иным методом.) Для точечного заряда, координаты которого в мо­мент t равны (vt, 0, 0), потенциалы в точке (х, у, z) имеют вид

(26.1)

Уравнения (26.1) дают потенциалы в точке х, у, z в момент t, возникающие от движуще­гося заряда, «истинное» положение которого (имеется в виду положение в момент времени t) x=vt. Заметьте, что в уравнение входят координаты (x-vt), у и z, которые являются коор­динатами относительно переменного положения Р движущегося заряда (фиг. 26.1). Но, как вы знаете, истинное влияние распространяется на самом деле со скоростью с, так что поле в точке определяется на самом деле запаздывающим положением заряда Р', координата х которого равна vt' (где t'=t-r'/с — «запаздывающее» время».)

Фиг. 26.1. Определение полей в точке P от заряда q, движущегося вдоль оси x с постоянной скоростью v. (Поле в точке (x, y, z) в «настоящий момент» можно выразить как через «истинное» положение P так и через «запаздывающее» положение P’ (т. е. положение в момент t’=t-r’/c).

Нам, однако, известно, что заряд двигался с постоянной скоростью по прямой линии, поэтому естественно, что поведение в точке Р' непосредственно связано с переменным положением заряда. Фактически, если мы добавим предположение, что потен­циалы зависят только от положения и скорости в запаздывающий момент, тогда уравнение (26.1) будет представлять собой полную формулу для потенциалов заряда, движущегося любым обра­зом. Вот как все это работает. Пусть у вас имеется заряд, дви­жущийся каким-то произвольным образом, скажем, по траекто­рии, изображенной на фиг. 26.2, и вы пытаетесь найти потен­циал в точке (х, у, z). Прежде всего вы находите запаздывающее положение Р' и скорость v' в этой точке. Вообразите затем, что заряд сохраняет свое движение с этой скоростью на весь период запаздывания (t'-t), так что он появился бы затем в воображае­мом положении Р_пр, которое мы будем называть «проекци­онным», причем двигаясь с той же скоростью v'. (На самом деле он, конечно, не делает этого; в момент t он находится в точке Р.) Тогда потенциалы в точке (х, у, z) будут как раз такими, кото­рые дали бы уравнения (26.1) для воображаемого заряда в про­екционном положении Р_пр. Мы хотим здесь сказать, что, по­скольку потенциалы зависят только от того, что делает заряд в запаздывающий момент, они будут одинаковы, независимо от того, продолжает ли заряд свое движение с постоянной скоро­стью или изменяет его после момента t', т. е. после того, как по­тенциалы, которые возникнут в момент t в точке (х, у, z), уже определены.

Вы понимаете, конечно, что в тот момент, когда получены формулы для потенциалов произвольно движущегося заряда, мы имеем полную электродинамику; из принципа суперпози­ции мы можем получить потенциалы для любого распределения зарядов.

Фиг. 26.2. Движение за­ряда по произвольной тра­ектории.

Потенциалы в точке (х, у, z) в момент t определяются положением Р' и скоростью v' в за­паздывающий момент t'— t-r' /с. Их удобно выражать через коор­динаты относительно «проек­ционного» положения P_пр (ис­тинным положением в момент t является точка Р).

Следовательно, все явления электродинамики можно вывести либо из уравнений Максвелла, либо из следующего ряда замечаний. (Запомните их на случай, если вы вдруг очу­титесь на необитаемом острове. Исходя из них, можно восста­новить все. Преобразования Лоренца вы, конечно, помните. Не забывайте их ни на необитаемом острове, ни в каком-либо другом месте.)

Во-первых, А_m — четырехвектор. Во-вторых, кулонов по­тенциал любого покоящегося заряда равен q/4pe₀r. В-тре­тьих, потенциал, созданный зарядом, движущимся произволь­ным образом, зависит только от положения в запаздывающий момент времени. Из этих трех фактов вы можете получить все. Из того, что А_m ~ четырехвектор, мы преобразованием кулонова потенциала, который известен, получим потенциал за­ряда, движущегося с постоянной скоростью. Затем из послед­него утверждения, что потенциал зависит только от скорости в запаздывающий момент, мы, используя проекционное положе­ние, можем их найти. Правда, это не очень-то удобный способ рассмотрения, но интересно убедиться в том, что законы физики можно сформулировать множеством самых различных способов.

Иногда кое-кто безответственно заявляет, что вся электро­динамика может быть получена только из преобразований Ло­ренца и закона Кулона. Это, конечно, совершенно неверно. Мы прежде всего должны предположить, что у нас имеются скаляр­ный и векторный потенциалы, которые в совокупности образуют четырехвектор. Это говорит нам, как преобразуются потен­циалы. Затем, откуда нам известно, что необходимо учитывать только эффект в запаздывающий момент? Или, еще лучше, по­чему потенциал зависит только от положения и скорости и не зависит, например, от ускорения? Ведь поля Е и В зависят все-таки и от ускорения. Если вы попытаетесь применить те же рассуждения к ним, то будете вынуждены признать, что они за­висят только от положения и скорости в запаздывающий мо­мент. Но тогда поле ускоряющегося заряда было бы таким же, как и поле от заряда в проекционном положении, а это неверно. Поля зависят не только от положения и скорости вдоль траек­тории, но и от ускорения. Так что в «великом» утверждении, что все можно получить из преобразования Лоренца, содержится еще несколько неявных дополнительных предположений. (Всегда, когда вы слышите подобное эффектное утверждение, что нечто большое можно построить на основе малого числа предположений,— ищите ошибку. Обычно неявно принимается довольно много такого, что оказывается далеко не очевидным, " если посмотреть внимательнее.)

§ 2. Поля точечного заряда, движущегося с постоянной скоростью

Итак, мы нашли потенциалы точечного заряда, движущегося с постоянной скоростью. Для практических целей нам нужно найти поля. Равномерно движущиеся заряды попадаются бук­вально на каждом шагу, скажем проходящие через камеру Вильсона космические лучи или даже медленно движущиеся электроны в проводнике. Так что давайте хотя бы посмотрим, как выглядят эти поля для любых скоростей заряда, даже для скоростей, близких к скорости света, но предположим при этом, что ускорение вообще отсутствует. Это очень интересный вопрос.

Поля мы будем находить по обычным правилам, исходя из потенциалов

Возьмем сначала E_z:

Но компонента A_z равна нулю, а дифференцирование выра­жения (26.1) для j дает

(26.2)

Аналогичная процедура для Е_у приводит к

(26.3)

Немного больше работы с x-компонентой. Производная от j более сложна, да и А_х не равна нулю. Давайте сначала вычислим —дj/дх:

(26.4)

А затем продифференцируем А_х по t:

(26.5)

И, наконец, складывая их, получаем

(26.6)

Бросим на минуту заниматься полем Е, а сначала найдем В. Для его z-компоненты мы имеем

Но, поскольку А_y равна нулю, у нас остается только одна производная. Заметьте, однако, что А_х просто равна vj, а производная (d/dy)vj равна —vE_y . Так что

(26.7)

Аналогично,

или

(26.8)

Наконец, компонента В_х равна нулю, поскольку равны нулю и А_у и А_г. Таким образом, магнитное поле можно запи­сать в виде

(26.9)

Теперь посмотрим, как выглядят наши поля. Мы попытаемся нарисовать картину поля вокруг положения заряда в настоящий момент. Конечно, влияние заряда в каком-то смысле происхо­дит из запаздывающего положения, но, поскольку мы имеем дело со строго заданным движением, запаздывающее положение однозначно определяется положением в настоящий момент. При постоянной скорости заряда поля лучше связывать с теку­щими координатами, ибо компоненты поля в точке х, у, z за­висят только от (х-vt), у и z, которые являются компонентами вектора перемещения r_p из постоянного положения заряда в точку (х, у, z) (фиг. 26.3).

Фиг. 26.3. Электрическое поле заряда, движущегося с постоянной скоростью, направ­лено по радиусу от истинного положения заряда.

Рассмотрим сначала точки, для которых z= 0. Поле Е в этих точках имеет только х- и y-компоненты. Из уравнений (26.3) и (26.6) видно, что отношение этих компонент как раз равно отно­шению х- и y-компонент вектора перемещения. Это означает, что направление Е совпадает с направлением r_p, как это пока­зано на фиг. 26.3. Тот же результат остается справедливым и для трех измерений, поскольку E_z пропорционально z. Короче говоря, электрическое поле заряда радиально и силовые линии расходятся от заряда так же, как и в стационарном случае. Конечно, вследствие наличия дополнительного фактора (1-v²) поле не будет тем же самым, что в стационарном случае. Но здесь мы можем увидеть нечто очень интересное. Дело обстоит так, как будто вы пишете закон Кулона в особой системе коорди­нат, «сжатой» вдоль оси x множителем Ö(1-v²) Если вы сделаете это, то силовые линии впереди и позади заряда разойдутся, а по бокам сгустятся (фиг. 26.4).

Если мы связываем обычным образом напряженность поля Е с плотностью силовых линий, то видим, что поле впереди и по­зади заряда ослабевает, но зато по бокам становится сильнее, т. е. как раз то, о чем говорит нам уравнение. Когда вы изме­ряете напряженность поля под прямыми углами к линии дви­жения, т. е. при (x-vt) = 0, расстояние от заряда будет равно y²+z², а полная напряженность Ö(E²_x+E²_y) в этих точках равна

(26.10)

Она, как и в случае кулонова поля, пропорциональна квад­рату расстояния, но еще усиливается постоянным множителем 1/Ö(1-v²), который всегда больше единицы. Таким образом, по бокам движущегося заряда электрическое поле сильнее, чем это следует из закона Кулона. Фактически увеличение по срав­нению с кулоновым потенциалом равно отношению энергии частицы к ее массе покоя.

Впереди заряда (или позади него) у и z равны нулю, а поэ­тому

(26.11)

Снова поле обратно пропорционально расстоянию от заряда, но теперь оно зарезается множителем (1-v²), что согласуется с картиной силовых линий. Если v/c мало, то v²/c² еще меньше, и действие (1-v²) почти незаметно, поэтому мы снова возвра­щаемся к закону Кулона. Но если частица движется со скоро­стью, близкой к скорости света, то поле перед частицей сильно уменьшается, а поле сбоку чудовищно возрастает.

Наш результат, относящийся к электрическому полю заря­да, можно представить и так. Предположим, что вы на клочке бумаги нарисовали силовые линии покоящегося заряда, а за­тем эту картину запустили со скоростью v₂. Тогда благодаря лоренцеву сокращению рисунок сожмется, т. е. частички гра­фита на бумаге будут казаться нам расположенными в других местах. Но чудо состоит в том, что в результате на про­летающем мимо листочке вы увидите точную картину си­ловых линий точечного дви­жущегося заряда. Лоренцево сокращение сблизит их по бокам, раздвинет перед заря­дом и позади него как раз настолько, чтобы получить нужную плотность. Мы уже отмечали, что силовые ли­нии — это не реальность, а лишь способ представить себе электрическое поле. Однако здесь они ведут себя как самые настоящие реальные линии. В этом частном случае, если вы и сделали ошибку, рассматривая силовые ли­нии как нечто реальное и преобразуя их как реальные линии в пространстве, поле в результате все равно получилось бы пра­вильным.

Фиг. 26.4. Электрическое поле заряда.

а — неподвижного, б — летящего с по­стоянной скоростью v=0,9 с.

Однако от этого силовые линии не станут более реаль­ными. Вспомните об электрическом поле, создаваемом зарядом вместе с магнитом; когда магнит движется, он создает новое электрическое поле и разрушает всю нашу прекрасную кар­тину. Так что простая идея сокращающейся картинки, вообще говоря, не годится. Но все же это очень удобный способ запом­нить, как выглядит поле быстро движущегося заряда.

Магнитное поле [из уравнения (26.9)] равно vXE. Когда вы векторно помножите скорость на радиальное поле Е, то полу­чите поле В, силовые линии которого представляют окружности вокруг линии движения (фиг. 26.5). Если же теперь мы подста­вим обратно все с, то вы убедитесь, что результат получился тот же, что и для медленно движущихся зарядов. Хороший способ установить, куда должны войти с, — это вспомнить фор­мулу для силы:

Вы видите, что произведение скорости на магнитное поле имеет ту же размерность, что и электрическое поле, так что в правой части (26.9) должен стоять множитель 1/с², т. е.

(26.12)

Для медленно движущегося заряда (v << с) поле можно считать кулоновым, и тогда

(26.13)

Эта формула в точности соответствует магнитному полю тока, которое было найдено в гл. 14 (вып. 5).

Попутно мне хотелось бы отметить кое-что весьма интерес­ное просто для того, чтобы вы об этом подумали. (К обсуждению этого мы еще вернемся, но несколько позже.) Представьте себе два электрона, скорости которых перпендикулярны, так что пути их пересекаются, однако электроны не сталкиваются; один из них успевает проскочить перед другим. В какой-то момент их относительное положение будет таким, как изображено на фиг. 26.6, а.

Фиг. 26.5. Магнитное поле вблизи движущегося заряда равно vXE (ср. с фиг. 26.4).

Фиг. 26.6. Силы между двумя движущимися заря­дами не всегда равны и противоположны. «Действие», оказывается, не равно «противодействию».

Рассмотрим теперь силы, с которыми q₂ дей­ствует на q₁, и наоборот. На q₂ со стороны q₁ действует только электрическая сила, ибо q₁ на линии своего движения не соз­дает магнитного поля. Однако на q₁ кроме электрического поля, действует еще и магнитное, так что он движется и в магнитном поле, создаваемом зарядом q₂. Все эти силы показаны на фиг. 26.6, б. Электрические силы, действующие на q₁ и q₂, равны по величине и противоположны по направлению. Однако на q₁ еще действует и боковая (магнитная) сила, которой и в помине нет у q₂. Равно ли здесь действие противодействию? Поломайте голову над этим вопросом.

§ 3. Релятивистское преобразование полей

В предыдущем параграфе мы вычисляли электрическое и маг­нитное поля, исходя из трансформационных свойств потенциа­лов. Но, несмотря на приведенные ранее аргументы в пользу физического смысла и реальности потенциалов, поля все же важ­нее. Они тоже реальны, и для многих задач было бы удобно иметь способ вычисления полей в движущейся системе, если поля в некоторой «покоящейся» системе уже известны. Мы име­ем законы преобразования для j и А, поскольку А_m представляет собой четырехвектор. Теперь нам хотелось бы найти законы преобразования Е и В. Пусть мы знаем векторы Е и В в одной системе отсчета. Как же они выглядят в другой системе, движущейся относительно первой? Здесь-то нам и понадобятся преобразования. Конечно, мы всегда можем сделать это через потенциал, но иногда удобно уметь преобразовывать поля непосредственно. Сейчас мы увидим, как это делается.

Как можно найти закон преобразования полей? Нам изве­стны законы преобразования j и А, и мы знаем, как выражаются поля через j и А, так что отсюда нетрудно найти преобра­зования для Е и В. (Вы можете подумать, что у каждого вектора есть нечто, дополняющее его до четырехвектора, так что, напри­мер, с вектором Е можно связать некую величину, которая сде­лает его четырехвектором. То же самое относится и к В. Увы, это не так. Все оказывается совершенно непохожим на то, что можно было бы ожидать.) Для начала возьмем магнитное поле В, которое, конечно, равно ÑXА. Теперь мы знаем, что х -, у- и z-компоненты векторного потенциала — это только одна часть, помимо них есть еще и t-компонента. Кроме того, мы знаем, что у аналога оператора Ñ наряду с производными по х, у и z есть также производная по t. Давайте же попытаемся найти, что получится, если мы произведем замену у на t, или z на t, или еще что-нибудь в этом духе.

Прежде всего обратите внимание на форму слагаемых, об­разующих компоненты В:

В слагаемые, образующие x-компоненту В, входят только z- и y-компоненты А. Предположим, мы назвали эту комби­нацию производных и компонент «zy-штукой», или сокращенно F_zy . Мы просто имеем в виду, что

(26.15)

Подобной же «штуке» равна и компонента В, но на сей раз это будет «xz-штука», а В_z, разумеется, равна «yx-штуке». Таким образом,

(26.16)

Посмотрим теперь, что получится, если мы попытаемся смастерить «штуки» типа «t», т. е. F_xt или F_tz (ведь природа дол­жна быть красива и симметрична по х, у, z и t). Что такое, например, F_tz? Разумеется, она равна

Но вспомните, ведь A_t=j, поэтому предыдущее выражение равно

Такое выражение нам уже встречалось раньше. Это почти z-компонента поля Е. Почти, за исключением неверного знака. Впрочем, мы забыли, что в четырехмерном градиенте произ­водная по t идет со знаком, противоположным производным по х, у и z. Так что на самом деле нам следует взять более умное обобщение, т. е. считать

(26.17)

Теперь она в точности равна — Е_г. Так же можно построить F_tx и F_tv и получить три выражения:

А что, если оба индекса внизу будут t? Или оба будут х? Тогда мы получим выражения типа

т. е. просто нуль.

Итак, у нас есть шесть таких «F-штук». Кроме них, есть еще шесть полученных перестановкой индексов, но они не дают ни­чего нового, ибо

F_xy= -F_yx

и т. п. Таким образом, из шести возможных попарных комбина­ций четырех значений индексов мы получили шесть различных физических объектов, которые представляют компоненты В и Е.

Чтобы записать члены F в общем виде, мы воспользуемся обобщенными индексами m и v, каждый из которых может быть 0, 1, 2 или 3, обозначающих соответственно (как и в обычных четырехвекторах) t, x, у или z. Кроме того, все будет прекрасно согласовываться с нашими четырехмерными обозначениями, если F_mv определить как

F_mv =Ñ_mA_v-Ñ_vA_m, (26.19)

помня при этом, что

То, что мы нашли, можно сформулировать так: в природе су­ществуют шесть величин, которые представляют различные сто­роны чего-то одного. Электрическое и магнитное поля, кото­рые в нашем обычном медленно движущемся мире (где нас не беспокоит конечность скорости света) рассматривались как со­вершенно отдельные векторы, в четырехмерном пространстве уже не будут ими. Они — часть некоторой новой «штуки».

Наше физическое «поле» на самом деле шестикомпонентный объект F_mv . Вот как обстоит дело в теории относительности. По­лученные результаты для F_mv собраны в табл. 26.1.

Таблица 26.1 • компоненты f_mv

Вы видите, что мы сделали фактически обобщение векторного произведения. Мы начали с ротора и с того факта, что его свой­ства преобразования в точности такие же, как свойства преобра­зования двух векторов — обычного трехмерного вектора А и оператора градиента, который, как нам известно, ведет себя подобно вектору. Возвратимся на минуту к обычному вектор­ному произведению в трехмерном пространстве, например к мо­менту количества движения частицы. При движении частицы в плоскости важной характеристикой оказывается комбина­ция (xv_y—yv_x), а при движении в трехмерном пространстве появляются три подобные величины, которые мы назвали мо­ментом количества движения:

Затем (хотя сейчас вы, может быть, об этом и забыли) мы сотво­рили в гл. 20 (вып. 2) чудо: эти три величины превратились в компоненты вектора. Чтобы сделать это, мы приняли искус­ственное соглашение: правило правой руки. Нам просто повезло. И повезло потому, что момент L_tj (i и j равны х, у или z) ока­зался антисимметричным объектом, т. е.

L_ij= - L_ji , L_ii=0.

Из девяти возможных его величин независимы лишь три. И вот оказалось, что при изменении системы координат эти три опе­ратора преобразуются в точности, как компоненты вектора.

То же свойство позволяет записать в виде вектора и элемент поверхности. Элемент поверхности имеет две части, скажем dx и dy, которые можно представить вектором da, ортогональным к поверхности. Но мы не можем сделать этого же для четырех измерений. Что будет нормалью к элементу dxdy? Куда она направлена — по оси z или по t?

Короче говоря, для трех измерений оказывается, что ком­бинацию двух векторов типа L_ij, к счастью, снова можно пред­ставить в виде вектора, поскольку возникают как раз три члена, которые, выходит, преобразуются подобно компонен­там вектора. Для четырех измерений это, очевидно, невоз­можно, поскольку независимых членов шесть, а шесть ве­личин вы никак не представите в виде четырех.

Однако даже в трехмерном пространстве можно составить такую комбинацию векторов, которую невозможно представить в виде вектора. Предположим, мы взяли какие-то два вектора a=(а_х, a_y , a_z) и b=(b_x, b_y, b_z) и составили всевозможные различ­ные комбинации компонент типа a_xb_x, a_xb_y и т. д. Всего получается девять возможных величин:

Эти величины можно назвать Т' _ij .

Если теперь перейти в повернутую систему координат (скажем, относительно оси z), то при этом компоненты а и b изменяются. В новой системе а_х должно быть заменено на

Аналогичные вещи происходят и с другими компонентами. Девять компонент изобретенной нами величины T_ij., разу­меется, тоже изменяются. Например, T_xy =а_хb_у переходит в

или

Каждая компонента T_ij — это линейная комбинация ком­понент t_ij.

Итак, мы обнаружили, что из векторов можно сделать не только векторное произведение aXb, три компоненты которого преобразуют подобно вектору. Искусственно мы из двух векто­ров t_ij . можем сделать «произведение» другого сорта. Девять его компонент преобразуются при вращении по сложным правилам, которые можно выписать. Подобный объект, требующий для своего описания вместо одного индекса два, называется тензо­ром. Мы построили тензор «второго ранга», но так же можно поступить и с тремя векторами и получить тензор третьего ранга, а из четырех векторов — тензор четвертого ранга и т. д. Тензором первого ранга является вектор.

Суть всего этого разговора в том, что наше электромагнитное поле F_mv — тоже тензор второго ранга, так как у него два индек­са. Однако это уже тензор в четырехмерном пространстве. Он преобразуется специальным образом, и через минуту мы найдем его. Это просто произведение векторных преобразований. Если у тензора F _mv вы переставите индексы, то он изменит свой знак. Это особый вид тензора, и называется он антисимметричным. Иначе говоря, электрическое и магнитное поля являются частью антисимметричного тензора второго ранга в четырех­мерном пространстве.

Вот какой мы прошли длинный путь. Помните, мы начали с определения, что такое скорость? А теперь мы уже рассуждаем о «тензоре второго ранга в четырехмерном пространстве».

Теперь нам нужно найти закон преобразования F_mv. Сделать это нетрудно — мороки только много,— шевелить мозгами особенно не нужно, а вот потрудиться все же придется. Един­ственное, что мы должны найти,— это преобразование Лоренца величины Ñ_m A_v— Ñ_vA_m . Так как Ñ_m — просто специальный слу­чай вектора, то мы будем работать с общей антисимметричной
комбинацией векторов, которую можно назвать G_mv :

(26.20)

(Для наших целей а_м следует, в конце концов, заменить на Ñ_m, а b_m —на потенциал А_m .) Компоненты а_m и b_m преобразуются по формулам Лоренца:

(26.21)

Теперь преобразуем компоненты G_{m v} . Начнем с G_tx:

Но ведь это просто G_tx. Таким образом, мы получили простой

результат G’_tx=G_tx .

Возьмем еще одну компоненту:

Итак, получается

И, конечно, точно таким же образом

А теперь ясно, как ведут себя все остальные компоненты. Давайте составим таблицу преобразований всех шести членов; только теперь мы будем все писать для величин F_mv:

(26.22)

Разумеется, по-прежнему у нас F_mv=—f'_mv , a F'_mm=0.

Итак, мы имеем преобразования электрических и магнитных полей. Единственное, что нам нужно сделать,— это заглянуть в табл. 26.1 и узнать, что означает для векторов Е и В преобра­зование, записанное для F_мv. Речь идет о простой подстановке. Чтобы можно было видеть, как это все выглядит в обычных сим­волах, перепишем наши преобразования компонент поля в виде табл. 26.2.

Таблица 26.2 • ЛОРЕНЦЕВЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ

Уравнения в этой таблице говорят нам, как изменяются Е и В при переходе от одной инерциальной системы к другой. Если известны Е и В в одной системе, то мы можем найти, чему они равны в другой, движущейся относительно нее со скоростью v.

Можно переписать эти уравнения в форме, более легкой для запоминания. Для этого заметьте, что поскольку скорость v направлена по оси х, то все компоненты с v представляют собой векторные произведения vXE и vXB. Так что преобразования можно записать в виде табл. 26.3.

Таблица 26.3 • ДРУГАЯ ФОРМА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОЛЕЙ

Теперь легко запомнить, какая компонента куда идет. Фак­тически эти преобразования можно записать даже еще проще, если ввести компоненты поля, направленные по оси х, т. е. «параллельные» компоненты E_║ и В_║ (которые параллельны относительной скорости систем S и S') и полные поперечные или «перпендикулярные» компоненты Е_┴ и В_┴, т. е. векторную сумму у- и z-компонент. В результате мы получим уравнения, сведенные в табл. 26.4. (Для полноты мы восстановили все с.)

Таблица 26.4 • ЕЩЕ ОДНА ФОРМА ЛОРЕНЦЕВЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ПОЛЕЙ Е И В

Преобразования поля позволяют по-другому решить задачи, которыми мы занимались прежде, например найти поле дви­жущегося точечного заряда. Раньше мы вычисляли поля, диф­ференцируя потенциалы. Но теперь то же самое можно сделать, преобразуя кулоново поле. Если у нас в системе S находится покоящийся заряд, то он создает только простое радиальное поле Е. В системе S', движущейся относительно системы S со скоростью v=-u, точечный заряд будет казаться нам летя­щим со скоростью и. Покажите сами, что преобразования табл. 26.3 и 26.4 дают те же самые электрические и магнитные поля, которые мы получили в § 2.

Преобразования табл. 26.2 дают нам очень интересный и простой ответ на вопрос: что мы видим, если движемся мимо любой системы фиксированных зарядов?

Фиг. 26.7. Система коор­динат S' движется в стати­ческом электрическом поле.

Пусть нам хочется узнать поля в нашей системе S', если мы движемся между пла­стинами конденсатора вдоль него, как показано на фиг. 26.7. (Но, разумеется, все равно, если бы заряженный конденсатор двигался мимо нас.) Что же мы увидим? Преобразования в этом случае облегчаются тем, что в первоначальной системе поле В отсутствует. Предположим сначала, что наше движение пер­пендикулярно к направлению Е, при этом мы увидим поле Е'=Е/Ö(1-v²/с²), которое остается полностью поперечным. Но мы еще увидим и магнитное поле В'=-vXE'/c². (He удивляй­тесь, что в этой формуле нет Ö(1-v²); ведь мы записали ее через Е', а не через Е; так тоже можно делать.) Итак, когда мы дви­жемся в направлении, перпендикулярном к статическому полю, то видим измененное Е и вдобавок еще поперечное поле В. Если наше движение не перпендикулярно вектору Е, то мы разбиваем Е на Е_║ и Е_┴. Параллельная часть остается неизмен­ной, е'_║=е_┴, а что происходит с перпендикулярной компонен­той, мы уже описали.

Давайте разберем противоположный случай и вообразим, что мы движемся через чисто статическое магнитное поле. На этот раз мы бы увидели электрическое поле Е', равное vXB', и магнитное поле, усиленное множителем 1/Ö(1-v²/с²) (предполагая, что оно поперечное). До тех пор, пока v много меньше с, изменением магнитного поля можно пренебречь, и основным эффектом будет появление электрического поля. В качестве примера этого эффекта рассмотрим некогда знаме­нитую проблему определения скорости самолета. Сейчас она уже больше не знаменита, поскольку для определения скорости можно использовать отражение от Земли сигналов радиолока­тора. Но раньше в плохую погоду скорость самолета было очень трудно определить. Ведь вы не видите Землю и не можете ска­зать куда вы летите. А знать, насколько быстро вы движетесь относительно Земли, было важно. Как же это можно сделать, не видя ее? Те, кому были знакомы уравнения преобразования, считали, что нужно использовать тот факт, что самолет движется в магнитном поле Земли. Предположим, что самолет летит там, где магнитное поле нам более или менее известно. Возьмем простейший случай, когда магнитное поле вертикально. Если мы летим через него с горизонтальной скоростью v, то в соот­ветствии с нашей формулой должны наблюдать электрическое поле vXB, т. е. перпендикулярное к направлению движения. Если поперек самолета подвесить изолированный провод, то электрическое поле на его концах будет индуцировать заряды. Ну в этом ничего нового нет. С точки зрения наблюдателя на Земле, мы просто передвигаем провод в магнитном поле, а сила q(vXB) заставляет заряд двигаться к концу провода. Уравнения преобразования говорят то же самое, но другими словами. (То, что одну и ту же вещь можно получить не одним, а несколькими способами, вовсе не означает, что один способ лучше другого. Мы овладели столькими методами и приемами, что один и тот же результат можем получать какими хотите способами!)

Итак, единственное, что мы должны сделать для определения скорости v,— это измерить напряжение между концами про­вода. Хотя для этой цели мы не можем воспользоваться вольт­метром, ибо то же самое поле будет действовать и на провода внутри вольтметра, способы измерения таких полей все же существуют. О некоторых из них мы уже говорили в гл. 9 (вып. 5), когда рассказывали об атмосферном электричестве. Так что измерить скорость самолета, казалось бы, можно.

Однако эта важная проблема не была решена таким методом. Дело в том, что величина электрического поля, которое при этом развивается,— порядка нескольких милливольт на метр. Измерить такие поля, конечно, можно, но вся беда в том, что они ничем не отличаются от любых других электрических полей. Поля, создаваемые движением через магнитное поле, нельзя отличить от электрических полей, возникающих в воздухе по каким-то другим причинам (скажем, от электростатических зарядов в воздухе или на облаках). В гл. 9 мы говорили, что обычно над поверхностью Земли существуют электрические поля с напряженностью около 100 в/м, но они совершенно нере­гулярные. Так что самолет во время полета будет наблюдать флуктуации атмосферных электрических полей, которые огром­ны по сравнению со слабенькими полями, возникающими из-за множителя vXB. Ввиду этих чисто практических причин изме­рить скорость самолета, используя его движение в магнитном поле Земли, невозможно.

§ 4. Уравнения движения в релятивистских обозначениях

Полученные из уравнений Максвелла электрические и маг­нитные поля сами по себе не представляют особой ценности, если мы не знаем, что эти поля могут делать, на что они способны.

Вы, вероятно, помните, что поля нужны для нахождения действующих на заряды сил и что именно эти силы определяют их движение. Так что связь движения зарядов с силами, разу­меется, тоже есть часть электродинамики.

На отдельный заряд, находящийся в полях Е и В, действует

(26.23)

При небольших скоростях эта сила равна произведению массы на ускорение, но истинный закон, справедливый при любых скоростях, гласит: сила равна dp/dt. Подставляя p=m₀v/Ö(1-v²/c²), находим релятивистское уравнение движения заряда:

(26.24)

Теперь мы хотим обсудить это уравнение с точки зрения тео­рии относительности. Поскольку уравнения Максвелла запи­саны у нас в релятивистской форме, интересно посмотреть, как в релятивистской же форме выглядят уравнения движения. Посмотрим, можно ли переписать уравнения движения в четы­рехмерных обозначениях.

Мы знаем, что импульс есть часть четырехмерного вектора p_m с энергией m₀/Ö(1-v²/с²) в качестве временной компоненты, так что мы надеемся заменить левую часть уравнения (26.24) на dp_m/dt. Теперь нам нужно найти только четвертую компоненту силы F. Эта компонента должна быть равна скорости изменения энергии или скорости совершения работы, т. е. F•v. Так что правую часть уравнения (26.24) желательно было бы записать в виде четырехвектора типа (F•v, F_x, F_y , F_z), Однако эти вели­чины не составляют четырехвектора.

Производная четырехвектора по времени не будет больше четырехвектором, так как d/dt требует для измерения t неко­торой специальной системы отсчета. С этой трудностью мы уже сталкивались раньше, когда пытались сделать четырехвектор из скорости v. Тогда мы попытались считать, что роль временной компоненты скорости играет cdt/dt=c. Но на самом деле величины

(26.25)

не образуют четырехвектора. После этого мы обнаружили, что их можно превратить в компоненты четырехвектора, если помножить каждую на 1

/Ö(1-v²/с²). «Четырехмерной ско­ростью» u_m оказался вектор

(26.26)

Вот в чем фокус! Нужно умножать производную d/dt на 1/Ö(1-v²/с²), если мы хотим превратить ее компоненту в четырехвектор.

Итак, вторая гипотеза: четырехвектором должна быть ве­личина

(26.27)

Но что такое v? Это уже скорость частицы, а не скорость системы координат! Таким образом, обобщением силы на четырехмерное пространство будет величина f_m:

(26.28)

которую мы назовем «4-силой». Она уже четырехвектор, и ее пространственными компонентами будут уже не F, а

F/Ö(1-v²/c²).

Почему же f_m четырехвектор? Неплохо бы понять, что это за таинственный множитель 1/Ö(1-v²/с²). Так как мы встре­чаемся с ним уже второй раз, то самое время посмотреть, почему производная d/dt всегда должна входить с одним и тем же

множителем. Ответ заключается вот в чем. Когда мы берем производную по времени некоторой функции х, то подсчитываем приращение Dх за малый интервал Dt переменной t. Но в другой

системе отсчета интервал At может соответствовать изменению как t', так и х', так что при изменении только t' изменение х будет другим. Для наших дифференцирований следовало бы найти такую переменную, которая была бы мерой «интервала» в пространстве-времени и оставалась бы той же самой во всех системах отсчета. Когда в качестве этого интервала мы принимаем приращение Dх, то оно будет тем же во всех системах отсчета. Когда частица «движется» в четырехмерном пространстве, то возникают приращения как Dt, так и Dх, Dy, Dz. Можно ли из них сделать интервал? Да, они образуют компоненты приращения четырехвектора х_m=(сt, х, у, г), так что, если определить величину Ds через

что представляет четырехмерное скалярное произведение, то в ней мы приобретаем настоящий скаляр и можем пользоваться им для измерения четырехмерного интервала. Исходя из вели­чины As или ее предела ds, мы можем определить параметр

Хорошим четырехмерным оператором будет и производ­ная по s, т. е. d/ds, так как она инвариантна относительно пре­образований Лоренца.

Для движущейся частицы ds легко связывается с dt. Для точечной частицы

(26.30)

а

Таким образом, оператор

есть инвариантный оператор. Если подействовать им на любой четырехвектор, то мы получим другой четырехвектор. Например, если мы действуем им на (ct, x, у, z), то получаем четырехвектор скорости

Теперь мы видим, почему Ö(l-v²/c²) поправляет дело.

Инвариантная переменная s — очень полезная физическая величина. Ее называют «собственным временем» вдоль траекто­рии частицы, ибо в системе, в любой момент движущейся вместе с частицей, ds просто равно интервалу времени. (В этой системе Dx=Dy=Dz=0, a Ds=Dt.) Если вы представите себе часы, скорость хода которых не зависит от ускорения, то, двигаясь вместе с частицей, такие часы будут показывать время s.

Теперь можно вернуться назад и записать закон Ньютона (подправленный Эйнштейном) в изящной форме:

(26.32)

где f_m определяется формулой (26.28). Импульс же р_m может быть записан в виде

(26.33)

где координаты x_m=(ct, х, у, z) описывают теперь траекторию частицы. Наконец, четырехмерные обозначения приводят нас к очень простой форме уравнений движения:

(26.34)

напоминающей уравнения F=ma. Важно отметить, что урав­нения (26.34) и F=ma — вещи разные, ибо четырехвекторная форма уравнения (26.34) содержит в себе релятивистскую ме­ханику, которая при больших скоростях отличается от механики Ньютона. Это абсолютно непохоже на случай уравнений Максвелла, где нам нужно был о переписать уравнения в реляти­вистской форме, совершенно не изменяя их смысла, а изменяя лишь обозначения.

Вернемся теперь к уравнению (26.24) и посмотрим, как в четырехвекторных обозначениях записывается правая часть.

Три компоненты F, поделенные на Ö(1-v²/c²), составляют про­странственные компоненты f_m , так что

Теперь мы должны подставить все величины в их релятивистских обозначениях. Прежде всего c/Ö(1-v²/c²), v_y/Ö(1-v²/c²) и v_z/Ö(1-v²/c²) представляют t-, у- и z-компоненты 4-скорости u_m. Компоненты же Е и В входят в электромагнитный тензор вто­рого ранга F_mv. Отыскав в табл. 26.1 компоненты F_mv, соответ­ствующие Е_х, В_г и В_v , получим

здесь уже начинает вырисовываться что-то интересное. В каж­дом слагаемом есть индекс х, и это разумно, ибо мы находим х-компоненту силы. Все же остальные индексы появляются в парах tt, yy, zz — все, кроме слагаемого с хх, которое куда-то делось. Давайте просто вставим его и запишем

Этим мы ничего не изменили, так как благодаря антисимметрии F_mv слагаемое F_xx равно нулю. Причиной же нашего желания восстановить его является возможность сокращенной записи уравнения (26.36):

(26.37)

Это по-прежнему уравнение (26.36), если предварительно мы примем соглашение: когда какой-то индекс встречается в произ­ведении дважды (подобно v), нужно автоматически суммировать все слагаемые с одинаковыми значениями этого индекса точно так же, как и в скалярном произведении, т. е. пользуясь тем же самым правилом знаков.

Нетрудно поверить, что уравнение (26.37) так же хорошо работает и для m=y, и для m=z. Но как обстоит дело с m=t? Посмотрим для забавы, что дает формула

Теперь мы снова должны перейти к Е и В. После этого получается

или

Но в (26.28) f_t бралось равным

А это одно и то же, что (26.38), ибо v•(vXB) равно нулю. Так что все идет как нельзя лучше.

В результате наше уравнение движения записывается в элегантном виде:

(26.39)

Как ни приятно видеть столь красиво записанное уравнение, форма эта не особенно полезна. При нахождении движения частицы обычно удобнее пользоваться первоначальным урав­нением (26.24), что мы и будем делать в дальнейшем.

*Штрих используется здесь для обозначения запаздывающего поло­жения и времени; не путайте его со штрихом в предыдущей главе, обозначавшим систему отсчета, подвергнутую преобразованиям Лоренца.

*В этом параграфе мы не будем принимать с за единицу.