§ 1. Электромагнит­ные волны

§ 2. Энергия излучения

§ 3. Синусоидальные волны

§ 4. Два дипольных излучателя

§ 5. Математическое описание интерференции

ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ

§ 1. Электромагнитные волны

В этой главе мы будем обсуждать те же вопросы, что и в предыдущей, но с большими математическими подробностями. Качественно мы уже показали, что поле излучения двух ис­точников имеет максимумы и минимумы, и те­перь наша задача — дать математическое, а не просто качественное описание поля.

Мы вполне удовлетворительно разобрали физический смысл формулы (28.6), рассмотрим теперь некоторые ее математические черты. Прежде всего поле заряда, движущегося вверх и вниз с малой амплитудой в направлении 0 от оси движения, перпендикулярно лучу зрения и лежит в плоскости ускорения и луча зрения (фиг. 29.1). Обозначим расстояние через r, тогда в момент времени t величина электрического поля равна

(29.1)

где a(t-r/с) — ускорение в момент времени (t-r/с), или запаздывающее ускорение.

Интересно нарисовать картину распреде­ления поля в разных случаях. Наиболее характерный множитель в формуле (29.1) — это a (t-r/с); чтобы его понять, возьмем простейший случай q = 90° и изобразим поле на графике.

Фиг. 29.1. Напряженность поля Е, создаваемая положительным зарядом с запаздывающим ускорением а'.

Фиг. 29.2. Ускорение некоторого заряда как функция времени.

Раньше мы были заняты вопро­сом, как ведет себя поле в данной фиксированной точке пространства с течением времени. Теперь посмотрим, как выглядит поле в разных точках пространства в один и тот же момент времени. Иначе говоря, нам нужен «моментальный сни­мок» поля, из которого будет ясно, каково оно в разных местах. Разумеется, картина распределения поля зависит от ускорения заряда. Зададим характер движения заряда: пусть сначала он покоится, затем внезапно начнет определенным образом уско­ряться (как показано на фиг. 29.2) и, наконец, остановится. Затем, чуть позже, измерим поле в разных точках пространства. Мы можем утверждать, что поле будет иметь вид, приведенный на фиг. 29.3. В самом деле, поле в каждой точке определяется ускорением заряда в предыдущий момент времени, причем под словом «предыдущий» понимается r/с секунд назад. Чем дальше точка, тем более ранним моментом времени определяется для нее ускорение. Поэтому кривая на фиг. 29.3 в некотором смысле есть «обращенный» во времени график ускорения; время и расстояние отличаются постоянным множителем c, который часто выбирается равным единице. Этот факт легко заметить и в математической записи a(t-r/с). Ясно, что добав­ка интервала времени At и вычитание отрезка пути Dr=-cDt дают одну и ту же величину a(t-r/с).

Другими словами, увеличив время на Dt, можно восста­новить значение a(t-r/с) добавлением отрезка Dr= сDt, т. е. поле распространяется со временем как волна, уходящая от источника. Вот почему иногда говорят, что свет движется как волна. Можно также сказать, что поле запаздывает во времени, или иначе, что поле распространяется вширь с течением вре­мени.

Фиг. 29.3. Электрическое поле как функция положения точки на­блюдения спустя некоторый про­межуток времени.

Множителем 1/r пренебрегаем.

Особый интерес представляет случай периодических коле­баний заряда q. В опыте, рассмотренном в гл. 28, смещение за­рядов x в момент t равнялось некоторой константе х₀, амплитуде колебаний, умноженной на coswt. Ускорение в этом случае равно

(29.2)

Отвлечемся пока от угла q и постоянных и посмотрим, как ведет себя Е (29.3) в зависимости от времени или координат.

§ 2. Энергия излучения

Как мы уже говорили, в любой момент времени и в любой точке пространства напряженность поля меняется обратно пропорционально расстоянию r. Следует заметить, что энергия, несомая волной, и любые энергетические характеристики элек­трического поля пропорциональны квадрату поля. Пусть, на­пример, заряд или осциллятор находится в электрическом поле и под влиянием поля начинает двигаться. Для линейного осцил­лятора смещение, ускорение и скорость, возникающие под дей­ствием поля, прямо пропорциональны величине поля. Поэтому кинетическая энергия заряда пропорциональна квадрату поля. Мы примем, что энергия, которую поле может передать какой-либо системе, пропорциональна квадрату поля.

Отсюда следует, что энергия, получаемая в данном месте от источника поля, уменьшается по мере удаления от источника, точнее, она падает обратно пропорционально квадрату расстоя­ния. Существует очень простая интерпретация этого факта: соберем энергию волны, попадающую в конус с вершиной в ис­точнике, сначала на расстоянии r1 (фиг. 29.4), а затем на расстоя­нии r₂; тогда количество энергии, падающее на единичную пло­щадку, обратно пропорционально квадрату расстояния r, а площадь поверхности внутри конуса растет прямо пропорцио­нально квадрату расстояния r от поверхности до вершины ко­нуса. Таким образом, на каком бы расстоянии от вершины конуса мы ни находились, энергия, проходящая внутри конуса, одна и та же! В частности, если окружить источник со всех сто­рон поглощающими осцилляторами, то полное количество энер­гии, поступающее в них от волны, будет постоянным, незави­симо от расстояния до источника.

Фиг. 29.4. Количество энергии, протекающей внутри конуса OABCD, не зависит от расстоя­ния r, на котором оно измеряется.

Закон спадания поля Е как 1/r эквивалентен утверждению, что имеется поток энергии, ко­торый нигде не теряется; при этом энергия распространяется на все большие и большие области пространства. Таким образом, заряд, колеблясь, безвозвратно теряет энергию, уходящую все дальше и дальше. Заряд не может вернуть излученную энергию с тех расстояний, где применимо наше рассмотрение; для доста­точно больших расстояний от источника вся излученная энер­гия уходит прочь. Конечно, энергия не исчезает бесследно и ее можно поглотить с помощью других систем. Потери энергии на излучение мы будем изучать в гл. 32.

Рассмотрим теперь более подробно волны вида (29.3) как функции времени в данном месте и как функции расстояния в данный момент времени. Как и раньше, будем отвлекаться от постоянных множителей и множителя 1/r.

§ 3. Синусоидальные волны.

Зафиксируем вначале r и рассмотрим поле как функцию времени. Получается функция, которая осциллирует с угловой частотой w. Угловую частоту со можно определить как скорость изменения фазы со временем (радианы в секунду). Эта величина нам уже знакома. Период есть время одного колебания, одного полного цикла; он равен 2p/w, так как произведение w и периода есть полный период косинуса.

Введем новую величину, которая очень часто используется в физике. Она возникает в другой ситуации, когда t фиксиро­вано и волна рассматривается как функция расстояния r. Легко увидеть, что как функция r волна (29.3) тоже осциллирует. Если отвлечься от множителя 1/r, то мы видим, что Е тоже осцилли­рует, когда мы меняем положение. Тогда по аналогии с w введем

так называемое волновое число и обозначим его через k. Оно опре­деляется как скорость изменения фазы с расстоянием (радианы на метр). Время при таком изменении остается фиксированным. Роль периода здесь играет другая величина, ее можно было бы назвать периодом в пространстве, однако ее обычное назва­ние — длина волны, а обозначается она буквой l. Длина волны есть расстояние, на котором колебание поля совершает один полный цикл. Легко видеть, что длина волны равна 2p/k, потому что k, умноженное на длину волны, равно полному периоду ко­синуса. Итак, соотношение kl=2p полностью аналогично

wt₀= 2p.

В нашем конкретном случае между частотой и длиной волны имеется определенная связь, однако приведенные выше опре­деления k и w носят совершенно общий характер и применимы также в тех физических условиях, когда никакого соотношения между этими величинами нет. Для рассматриваемой нами волны скорость изменения фазы с расстоянием найти легко. В самом деле, запишем выражение для фазы j=w(t-r/с) и возьмем частную производную по r

(29.4)

Это соотношение можно записать разными способами:

Почему длина волны оказывается равной периоду, умножен­ному на c? Очень просто. Дело в том, что за время, равное одному периоду, волны, двигаясь со скоростью с, пройдут расстояние ct₀ , а, с другой стороны, это расстояние должно быть равно длине волны.

В других физических явлениях, когда приходится иметь дело не со светом, такого простого соотношения между k и w может и не быть. Пусть волна движется вдоль оси x, тогда распространение синусоидальной волны с частотой w и волновым числом k описывается общей формулой вида sin(wt-kx).

Введенное понятие длины волны позволяет уточнить пределы применимости формулы (29.1). Напомним, что поле складывается из нескольких частей: одна из них спадает как 1/r, другая — как 1/r², а остальные падают с расстоянием еще быстрее. Имеет смысл выяснить: когда часть, спадающая по закону 1/r, наибо­лее существенна, а остальными можно пренебречь? Естественно ответить: «Когда мы отойдем достаточно далеко от источника, потому что член 1/г² будет мал по сравнению с членом 1/r». Но что значит «достаточно далеко»? В общих чертах ответ таков: все остальные члены имеют порядок величины l/r по сравнению с первым членом 1/г. Так что когда мы находимся на расстоянии нескольких длин волн от источника, формула (29.1) описывает поле в хорошем приближении. Область, удаленную от источника на расстояние, превышающее несколько длин волн, иногда называют «волновой зоной».

§ 4. Два дипольных излучателя

Рассмотрим теперь результирующее поле, которое возникает при одновременном действии двух осцилляторов. В предыдущей главе уже разбиралось несколько наиболее простых случаев. Мы дадим сначала качественную картину явления, а затем опи­шем те же эффекты с количественной точки зрения. Возьмем простейший случай, когда осцилляторы и детектор расположены в одной горизонтальной плоскости, а колебания осцилляторов происходят в вертикальном направлении.

На фиг. 29.5,а показан вид обоих осцилляторов сверху; в данном случае расстояние между ними в направлении север — юг равно половине длины волны и колеблются они в одной фазе, т.е. разность фаз осцилляторов равна нулю. Нас интересует интенсивность излучения в разных направлениях. Под интен­сивностью мы подразумеваем количество энергии, проходящей мимо нас в 1 сек; оно пропорционально квадрату напряженности поля, усредненному по времени. Так, для определения яркости света нужно взять квадрат напряженности электрического поля, а не саму напряженность. (Напряженность электрического поля характеризуется силой, с которой поле действует на неподвиж­ный заряд, а количество энергии, проходящей через некоторую площадку, пропорционально квадрату напряженности поля и измеряется в ваттах на квадратный метр. Коэффициент пропорциональности будет выведен в следующей главе.)

Фиг. 29.5. Зависимость интен­сивности излучения двух диполей, находящихся на расстоянии в по­ловину длины, волны, от направле­ния излучения.

a —диполи в фазе (a=0); 6 — диполи в противофаэе (a=p).

Если мы на­ходимся к западу от системы осцилляторов, к нам от обоих осцил­ляторов приходят поля, одинаковые по величине и с одной фа­зой, так что суммарное электрическое поле в два раза больше поля отдельного осциллятора. Следовательно, интенсивность будет в четыре раза больше интенсивности, возникающей от действия только одного осциллятора. (Числа на фиг. 29.5 ука­зывают интенсивность, причем за единицу измерения выбрана интенсивность излучения одного осциллятора, помещенного в начале координат.) Пусть теперь поле измеряется в северном или южном направлении, вдоль линии осцилляторов. Поскольку расстояние между осцилляторами равно половине длины волны, их поля излучения различаются по фазе ровно на полцикла, а следовательно, суммарное поле равно нулю. Для промежуточ­ного угла (равного 30°) интенсивность равна 2, т. е., уменьшаясь, интенсивность последовательно принимает значения 4, 2, 0 и т. д. Нам нужно научиться находить интенсивность для разных углов. По существу, это сводится к задаче о сложении двух ко­лебаний с разными фазами.

Давайте коротко рассмотрим еще несколько интересных случаев. Пусть расстояние между осцилляторами, как и раньше, равно половине длины волны, но колебания одного осциллятора отстают по фазе от колебаний другого на половину периода (см. фиг. 29.5, б). Интенсивность в горизонтальном направле­нии (западном или восточном) обращается в нуль, потому что один осциллятор «толкает» в одном направлении, а другой — в обратном. В северном направлении сигнал от ближайшего осциллятора приходит на полпериода раньше сигнала от даль­него осциллятора. Но последний запаздывает в своих колебаниях как раз на полпериода, так что оба сигнала приходят одновре­менно, и интенсивность в северном направлении равна 4. Интен­сивность под углом 30°, как будет показано позже, снова равна 2.

Теперь мы подошли к одному интересному свойству, весьма полезному на практике. Заметим, что фазовые соотношения меж­ду осцилляторами используются при передаче радиоволн. До­пустим, мы хотим направить радиосигнал на Гавайские острова. Используем для этого систему антенн, расположенную так, как показано на фиг. 29.5, а, и установим между ними нулевую разность фаз. Тогда максимальная интенсивность будет идти как раз в нужном направлении, поскольку Гавайские острова лежат на западе от США. На следующий день мы решим переда­вать сигналы уже в Канаду. А поскольку Канада находится на севере, нам надо только изменить знак одной из антенн, чтобы антенны находились в противофазе, как на фиг. 29.5, б, и передача пойдет на север. Можно придумать разные устройства системы антенн

Фиг. 29.6. Две диполъные антен­ны, дающие максимум излучения в одном направлении.

Наш способ—один из самых простых; мы можем значительно усложнить систему и, выбрав нужные фазовые соотношения, послать пучок с максимальной интенсивностью в требуемом направлении, даже не сдвинув с места ни одну из антенн! Однако в обеих радиопередачах мы затрачивали много энергии зря, она уходила в прямо противоположном направ­лении; интересно знать, есть ли способ посылать сигналы только в одном направлении? На первый взгляд кажется, что пара антенн такого типа будет всегда излучать симметрично. На самом деле картина гораздо разнообразнее; рассмотрим для при­мера случай несимметричного излучения двух антенн.

Пусть расстояние между антеннами равно четверти длины волны и северная антенна отстает от южной по фазе на четверть периода. Что у нас тогда получится (фиг. 29.6)? Как мы дальше покажем, в западном направлении интенсивность равна 2. В южном направлении получится нуль, потому что сигнал от северного источника N приходит на 90° позже сигнала от южного источника S и, кроме того, он отстает по фазе еще на 90°; в ре­зультате полная разность фаз есть 180° и суммарный эффект равен нулю. В северном направлении сигнал от источника N приходит на 90° раньше сигнала от S, поскольку источник N на четверть волны ближе. Но разность фаз равна 90° и компен­сирует задержку во времени, поэтому оба сигнала приходят с одной фазой, что дает интенсивность, равную 4.

Таким образом, проявив некоторую изобретательность в расположении антенн и выбрав нужные сдвиги фаз, можно на­править энергию излучения в одном направлении. Правда, энер­гия будет

все-таки испускаться в довольно большой интервал углов. А можно ли сфокусировать излучение в более узкий ин­тервал углов? Обратимся снова к передаче волн на Гавайские острова; там радиоволны шли на запад и на восток в широком диапазоне углов и даже на угол 30° интенсивность была все­го вдвое меньше максимальной, энергия расходовалась впу­стую.

Можно ли улучшить это положение? Рассмотрим случай, когда расстояние между источниками равно десяти длинам волн (фиг. 29.7), а разность фаз колебаний равна нулю. Это ближе к ситуации, описанной ранее,

когда мы экспериментировали с интервалами, равными нескольким длинам волн, а не малым

долям длины волны.

Фиг. 29.7. Распределение интен­сивности двух диполей, находя­щихся на расстоянии 10l друг от друга.

Здесь иная картина.

Если расстояние между источниками равно десяти длинам волн (мы выбираем более легкий случай, когда они находятся в фазе), то в западном и восточном направлениях интенсивность максимальна и равна 4. Если же сдвинуться на небольшой угол, разность фаз станет равной 180° и интенсивность обратится в нуль. Более строго: если мы проведем прямые от каждого осцил­лятора до точки наблюдения и вычислим разность расстояний до осцилляторов D, причем D окажется равным l/2, то оба сигнала будут в противофазе и суммарный эффект равен нулю. Этому на­правлению отвечает первый нуль на фиг. 29.7 (масштаб на рисун­ке не выдержан, это, по существу, грубая схема). Это означает, что мы получаем узкий луч в нужном направлении; если же мы чуть сдвигаемся в сторону, интенсивность исчезает. Для прак­тических целей, к сожалению, такие передающие системы имеют существенный недостаток: при некотором угле расстояние D может стать равным l и тогда оба сигнала снова окажутся в фазе! В результате получается картина с чередующимися мак­симумами и минимумами, точь-в-точь как в гл. 28 для расстоя­ния между осцилляторами, равного 2,5l.

Как избавиться от всех лишних максимумов? Существует довольно интересный способ устранения нежелательных макси­мумов. Поместим между нашими двумя антеннами целый ряд других (фиг. 29.8). Пусть расстояние между крайними по-прежнему равно 10l, а через каждые 2l поставим по антенне и настроим все антенны на одну фазу. Всего у нас будет, таким образом, шесть антенн, и интенсивность в направлении запад — восток, конечно, сильно возрастет по сравнению с интенсивностью от одной антенны. Поле увеличится в шесть раз, а интенсивность, определяемая квадратом поля,— в трид­цать шесть раз. Поблизости от направления запад — восток, как и раньше, возникнет направление с нулевой интенсив­ностью, а дальше, там, где мы ожидали увидеть высокий мак­симум, появится всего лишь небольшой «горб». Попробуем разобраться, почему так происходит.

Фиг. 29.8. Устройство из шести дипольных антенн и часть распределения интенсивности его излучения.

Причина появления максимума, казалось бы, по-прежнему существует, поскольку D может равняться длине волны, и осцилляторы 1 и 6, находясь в фазе, взаимно усиливают свои сигналы. Но осцилляторы 3 и 4 оказываются не в фазе с осцилля­торами 1 и 6, отличаясь от них по фазе приблизительно на поло­вину длины волны, и вызывают обратный эффект по сравнению с этими осцилляторами. Поэтому интенсивность в данном на­правлении оказывается малой, хотя и не равной точно нулю. В результате возникает мощный луч в нужном направлении и ряд небольших побочных максимумов. Но в нашем частном примере есть одна добавочная неприятность: поскольку расстоя­ние между соседними диполями равно 2 l, можно найти угол, для которого разность хода s лучей от соседних диполей в точ­ности равна длине волны. Сигналы от соседних осцилляторов будут отличаться на 360°, т. е. снова окажутся в фазе, и в этом направлении мы получим еще один мощный пучок радиоволн! На практике этого эффекта легко избежать, если выбрать расстояние между осцилляторами меньше одной длины волны. Само же возникновение добавочных максимумов при расстоя­нии между осцилляторами более одной длины волны очень ин­тересно и важно, но не для передачи радиоволн, а для дифракционных решеток.

§ 5. Математическое описание интерференции

Мы рассматривали излучение диполей с качественной точки зрения, теперь рассмотрим количественную картину. Найдем прежде всего суммарное поле от двух источников в самом общем случае, когда разность фаз а и силы осцилляторов a₁ и А₂ произвольны; для этого необходимо сложить два косинуса с одинаковой частотой, но разными фазами. Разность фаз находится весьма просто: она складывается из разности, возникаю­щей за счет неодинакового удаления точки наблюдения от обоих источников, и внутренней, заданной разности фаз колебаний. Выражаясь математически, нам необходимо сложить две волны: R=a[cos(wt+j₁)+А₂cos (wt+j₂). Как это сделать?

Каждый, вероятно, сумеет провести это сложение, но тем не менее проследим за ходом вычислений. Прежде всего, если мы разбираемся в математике и достаточно ловко управляемся с синусами и косинусами, эту задачу легко решить. Самый про­стой случай, когда амплитуда a₁ равна А₂ , и пусть обе они обозначаются через А. В этих условиях (назовем это тригоно­метрическим методом решения задачи) мы имеем

(29.9)

На уроках тригонометрии вы, вероятно, доказывали равенство

(29.10)

Если это нам известно, то мы немедленно получаем R:

(29.11)

Итак, мы снова получили синусоидальную волну, но с новой фазой и новой амплитудой. Вообще результат сложения двух синусоидальных волн есть синусоидальная волна с новой ам­плитудой A_R , называемой результирующей амплитудой, и но­вой фазой j_R, называемой результирующей фазой. В нашем частном случае результирующая амплитуда равна

(29.12)

а результирующая фаза есть арифметическое среднее обеих фаз. Таким образом, поставленная задача полностью решена. Предположим теперь, что мы забыли формулу сложения ко­синусов. Тогда можно применить другой метод решения — гео­метрический. Косинус, зависящий от wt, можно представить в виде горизонтальной проекции некоторого вращающегося век­тора. Пусть имеется вектор А₁, вращающийся с течением вре­мени; длина его равна a₁, a угол с осью абсцисс равен wt+j₁. (Мы пока опустим слагаемое wt; как мы увидим, при выводе это не играет роли.) Сделаем моментальный снимок векторов в момент времени t=0, помня, что на самом деле вся схема вращается с угловой скоростью w (фиг. 29.9). Проекция a1 на ось абсцисс в точности равна a1cos (wt+j₁). В момент времени t=0 вторая волна представляется вектором А₂, длина которого равна a2, а его угол с осью абсцисс равен j₂, причем он тоже вращается с течением времени.

Фиг. 29.9. Геометрический способ сложения двух косинусоидаль­ных волн.

Чертеж вращается со скоростью w против часовой стрелки.

Оба вектора вращаются с одинаковой угловой скоростью w, и их относительное распо­ложение неизменно. Вся система вращается жестко, подобно твердому телу.

Горизонтальная проекция А₂ равна A₂cos(wt + j₂). Из векторного анализа известно, что при сложении двух векторов по правилу параллелограмма образуется новый, ре­зультирующий вектор А_R, причем

x-компонента его есть сумма х-компонент слагающих векторов. Отсюда получаем решение нашей задачи. Легко проверить, что получается правильный ответ в нашем частном случае a₁=А₂=А. Действительно, из фиг. 29.9 очевидно, что A_R лежит посредине между a₁ и А₂ и составляет угол 1/2 (j₂-j₁) с каждым из них. Следовательно, A_R = 2Аcos¹/₂ (j₂-j₁), что совпадает с прежним результатом. Кроме того, в случае А₁-А₂ фаза A_R есть среднее от фаз a₁ и А₂. Для неравных A₁ и А₂ задача решается столь же просто. Мы можем назвать это геометрическим решением задачи.

Существует еще один метод решения задачи, его можно было бы назвать аналитическим. Вместо того чтобы рисовать схему, подобную приведенной на фиг. 29.9, напишем выраже­ния, имеющие тот же смысл, что и чертеж, и сопоставим каж­дому вектору комплексное число. Действительные части этих комплексных чисел отвечают реальным физическим величинам. В нашем конкретном случае волны записываются следующим образом: A₁ехр[i(wt+j₁)] [действительная часть этого равна a₁cos(wt+j₁)] и A₂ехр[i(wt-+j₂)]. Сложим обе волны:

(29.13)

(29.14)

Задача, таким образом, решена, так как мы имеем окончатель­ный результат в виде комплексного числа с модулем A_R и фа­зой j_R.

Для иллюстрации аналитического метода найдем амплитуду А_R , т. е. «длину» R. «Длина» комплексного числа в квадрате есть само комплексное число, умноженное на сопряженное ему.

Комплексное сопряжение состоит в изменении знака i . Отсюда получаем

(29.15)

(С помощью формул тригонометрии легко установить совпаде­ние получаемого результата с длиной A_R на фиг. 29.9.)

Итак, суммарная интенсивность складывается из члена А₁², возникающего от действия только первого источника, интенсив­ности А₂², равной интенсивности второго источника, и еще дополнительного члена. Этот дополнительный член мы назовем эффектом интерференции. Он представляет собой разность между истинным результатом сложения и суммой интенсивностей. Интерференционный член может быть как положительным, так и отрицательным. [Интерференция (interference) в англий­ской разговорной речи означает возражение, помеху, но в фи­зике слова часто теряют первоначальный смысл и употребляются совсем в другом значении!] Если интерференционный член по­ложителен, мы будем говорить о конструктивной интерферен­ции (буквальный смысл этого выражения покажется ужасным всем, кроме физиков!). В противном случае мы говорим о дест­руктивной интерференции.

Посмотрим теперь, как применить нашу общую формулу (29.16) для сложения полей излучения двух осцилляторов к тем частным случаям, которые мы уже качественно обсуждали. Для этого необходимо лишь вычислить разность фаз j₁ -j₂ двух сигналов, приходящих в данную точку пространства. (Эффект, разумеется, связан с разностью фаз, а не с их абсолютными зна­чениями.) Рассмотрим случай, когда два осциллятора с равными амплитудами и с относительной фазой колебаний а (когда коле­бания одного имеют фазу нуль, фаза другого равна а) располо­жены на расстоянии d друг от друга. Будем искать интенсив­ность под углом q к линии запад — восток. [Заметьте, что этот угол не имеет ничего общего с углом q в формуле (29.1).] Разность расстояний от точки Р до осцилляторов равна dsinq (фиг. 29.10), поэтому разность фаз, возникающая по этой причине, равна числу длин волн, заключенных на отрезке dsinq, умноженному на 2p.

Фиг. 29.10. Два осциллятора, обладающие одинаковой амплиту­дой и разностью фаз a.

(Более подготовленный читатель, вероятно, умножил бы волновое число k, т. е. скорость изменения фазы с расстояни­ем, на d sin 0, результат получится тот же самый.) Разность фаз, возникающая из-за разности хода лучей, есть, таким обра­зом, (2pdsinq)/l, но из-за относительного запаздывания осцилляторов возникает дополнительная разность фаз a. Отсюда пол­ная разность фаз двух волн в точке наблюдения равна

(29.17)

Это выражение охватывает все случаи. Теперь остается только подставить его в (29.16) и положить a₁=А₂; получится фор­мула, с помощью которой можно вывести все результаты для двух антенн одинаковой интенсивности.

Рассмотрим частные случаи. Например, на фиг. 29.5 мы полагали, что интенсивность на угол 30° равна 2. Откуда это получается? Осцилляторы находятся на расстоянии X/2, следо­вательно, для угла 30° dsinq=l/4, отсюда j₂-j₁=2pl/4l=p/2 и интерференционный член равен нулю. (Происходит сло­жение двух векторов, направленных под углом 90" друг к дру­гу.) Сумма векторов есть гипотенуза прямоугольного равнобед­ренного треугольника, она в Ö2 раз больше каждой амплитуды. Следовательно, интенсивность в 2 раза больше интенсивности каждого источника в отдельности. Все остальные примеры исследуются точно таким же способом.