AllPhysics.ru

§1.Уравнения электростатиче­ского потенциала

§2.Электрический диполь

§3.3амечания о векторных уравнениях

§4.Дипольный потенциал как градиент

§5.Дипольное приближение для произвольного распределения

§6.Поля заряженных проводников

§7. Метод изображений

§8.Точечный заряд у проводящей плоскости

§9.Точечный заряд у проводящей сферы

§10.Конденеаторы; параллельные пластины

§11.Пробой при высоком напряжении

§12.Ионный микроскоп

Повторить: гл. 23 (вып. 2) «Резонанс»

§ 1. Уравнения электростатического потенциала

В этой главе мы расскажем о поведении электрического поля в тех или иных обстоятель­ствах. Вы познакомитесь с тем, как ведет себя электрическое поле, и с некоторыми математи­ческими методами, используемыми для опреде­ления поля.

Отметим для начала, что математически вся задача состоит в решении двух уравнений — максвелловских уравнений электростатики:

(6.1)

(6.2)

Фактически оба эти уравнения можно объ­единить в одно. Из второго уравнения сразу же следует, что поле может считаться гра­диентом некоего скаляра (см. гл. 3, § 7):

(6.3)

Электрическое поле каждого частного ви­да можно, если нужно, полностью описать с помощью потенциала поля j. Дифферен­циальное уравнение, которому должно удо­влетворять j, получится, если (6.3) подста­вить в (6.1):

(6.4)

Расходимость градиента j—это то же, что Ѳ, действующее на j:

(6.5)

так что уравнение (6.4) мы запишем в виде

(6.6)

Оператор Ѳ называется лапласианом, а уравнение (6.6) — уравнением Пуассона. Весь предмет электростатики с мате­матической точки зрения заключается просто в изучении реше­ний одного-единственного уравнения (6.6). Как только из (6.6) вы найдете j, поле Е немедленно получается из (6.3).

Обратимся сперва к особому классу задач, в которых r задано как функция х, у, z. Такая задача почти тривиальна, потому что решать уравнение (6.6) в общем случае мы уже умеем. Мы ведь показали, что если r в каждой точке известно, то потенциал в точке (1) равен

(6.7)

где r(2) — плотность заряда, dV₂ — элемент объема в точке (2), а r₁₂ — расстояние между точками (1) и (2). Решение диф­ференциального уравнения (6.6) свелось к интегрированию по пространству. Решение (6.7) нужно отметить особо, потому что в физике часто встречаются ситуации, приводящие к уравнениям, которые выглядят так:

и (6.7) является прототипом решения любой такой задачи.

Проблема расчета электростатического поля, таким образом, решается совершенно честно, если только положения всех за­рядов известны. Давайте посмотрим на нескольких примерах, как действует эта формула.

§ 2. Электрический диполь

Сначала возьмем два точечных заряда +q и -q, разделенных промежутком d. Проведем ось z через заряды, а начало коор­динат поместим посредине между ними (фиг. 6.1). Тогда по фор­муле (4.24) потенциал системы двух зарядов дается выраже­нием

Мы не собираемся выписывать формулу для электрического поля, но всегда при желании можем это сделать, раз мы знаем потенциал. Так что задача двух зарядов решена.

Существует важный частный случай этой задачи, когда за­ряды расположены близко друг к другу, иными словами, когда нас интересует поле на таких расстояниях от зарядов, что по сравнению с ними промежуток между зарядами кажется незна­чительным. Такую тесную пару зарядов называют диполем. Диполи встречаются очень часто.

Фиг. 6.1. Диполь: два заряда +q и -q, удаленные друг от друга на расстояние d.

«Дипольную» антенну можно часто приближенно рассматривать как два за­ряда, разделенные неболь­шим расстоянием (если нас не интересует поле у са­мой антенны). (Обычно ин­терес представляют антенны с движущимися зарядами; уравнения статики тогда не­применимы, но для некоторых целей они все же представ­ляют весьма сносное приближение.)

Важнее, пожалуй, диполи атомные. Если в каком-то веще­стве есть электрическое поле, то электроны и протоны испыты­вают влияние противоположных сил и смещаются друг относи­тельно друга. Вы помните, что в проводнике некоторые электроны сдвигаются к поверхности, так что внутреннее поле обращает­ся в нуль. В изоляторе электроны не могут сильно разой­тись; им мешает притяжение ядра. И все же они как-то смеща­ются. Так что хотя атом (или молекула) и остается нейтральным, во внешнем электрическом поле все же возникает еле заметное разделение положительных и отрицательных зарядов, и атом становится микроскопическим диполем. Если нам нужно знать поле этих атомных диполей поблизости от предмета обычных размеров, то мы имеем дело с расстояниями, большими по срав­нению с промежутками между зарядами.

В некоторых молекулах из-за самой их формы заряды не­сколько разделены даже в отсутствие внешних полей. В моле­куле воды, например, имеется отрицательный заряд на атоме кислорода и положительный заряд на обоих атомах водорода, которые расположены несимметрично (фиг. 6.2). Хоть заряд всей молекулы равен нулю, все же имеется распределение за­ряда с небольшим преобладанием отрицательного заряда на од­ной стороне и положительного на другой. Это расположение, конечно, не такое простое, как у двух точечных зарядов, но если смотреть на него издалека, оно действует как диполь. Как мы увидим чуть позже, поле на больших расстояниях нечувстви­тельно к мелким деталям расположения.

Фиг. 6.2. Молекула воды Н₂O.

Взглянем теперь на поле двух зарядов противоположных знаков, расстояние d между которыми мало. Если d станет ну­лем, два заряда сойдутся в одном месте, два потенциала сокра­тятся, поле исчезнет. Но если они не совсем слились, то можно получить хорошее приближение к потенциалу, разложив сла­гаемые в (6.8) в ряд по степеням малой величины d (по формуле бинома Ньютона). Оставляя только первые степени d, мы напи­шем

Удобно обозначить

Тогда

и

Разлагая в биномиальный ряд [1 — (zd/r²)]^-1/2 и отбрасывая члены с высшими степенями d, мы получаем

Подобно этому,

Вычитая эти два члена, имеем для потенциала

(6.9)

Потенциал, а значит, и поле, являющееся его производной, пропорциональны qd — произведению заряда на расстояния меж­ду зарядами.

Фиг. 6.3. Векторные обозначения, для диполя.

Это произведение называется диполъным моментом пары зарядов, и мы обозначим его символом р (не путайте с импульсом!):

(6.10)

Уравнение (6.9) можно также записать в виде

(6.11)

так как z/r=cosq, где q — угол между осью диполя и радиус-вектором к точке (х, у, z) (см. фиг. 6.1). Потенциал диполя убы­вает как 1/r² при фиксированном направлении (а у точечного заряда он убывает как 1/r). Электрическое поле Е диполя по­этому убывает как 1/r³.

Мы можем записать нашу формулу и в векторном виде, если определим р., как вектор, абсолютная величина которого равна р, а направление выбрано вдоль оси диполя от q_- к q₊. Тогда

(6.12)

где е_r— единичный радиальный вектор (фиг. 6.3). Кроме того, точку (x, y, z) можно обозначить буквой r. Итак, Дипольный потенциал:

(6.13)

Эта формула справедлива для диполя произвольной ориентации и положения, если r — вектор, направленный от диполя к ин­тересующей нас точке.

Если нас интересует электрическое поле диполя, то нужно взять градиент j. Например, z-компонента поля есть -dj/dz. Для диполя, ориентированного вдоль оси z, мы можем исполь­зовать (6.9):

Фиг. 6.4. Электрическое поле диполя.

или

(6.14)

А х- и y-компоненты равны

Из этих двух компонент можно составить компоненту, пер­пендикулярную к оси z, которая называется поперечной компонентой E_^:

или

(6.15)

Поперечная компонента Е_^ лежит в плоскости ху и направ­лена прямо от оси диполя. Полное поле, конечно, равно

Поле диполя меняется обратно пропорционально кубу рас­стояния от диполя. На оси при 6 =0 оно вдвое сильнее, чем при 9 =90°. При обоих этих углах электрическое поле обладает только z-компонентой. Знаки ее при 2=0 и при z=90° проти­воположны (фиг. 6.4).

§ 3. Замечания о векторных уравнениях

Здесь, пожалуй, уместно сделать общее замечание, касаю­щееся векторного анализа. Хотя его теоремы и доказаны в общем виде, однако, приступая к расчетам и анализу какой-либо за­дачи, следует с толком выбирать направление осей координат. Вспомните, что когда мы вычисляли потенциал диполя, то ось выбиралась не как попало, а мы направили ее по оси диполя.

Это намного облегчило нашу задачу. Потом уже уравнения были переписаны в векторной форме и сразу перестали зависеть от выбора системы координат. Теперь стало возможным выби­рать какую угодно систему координат, зная, что формула от­ныне всегда будет справедлива. Вообще нет смысла вводить произвольную систему координат, где оси направлены под ка­ким-то сложным углом, если можно в данной задаче выбрать систему получше, а уже в самом конце выразить результат в виде векторного уравнения. Так что старайтесь использовать то преимущество векторных уравнений, что они не зависят ни от какой системы координат.

С другой стороны, если вы хотите подсчитать дивергенцию какого-то вектора, то вместо того, чтобы смотреть на у•Е и вспоминать, что это такое, лучше расписать это в виде

Если вы затем вычислите по отдельности х-, у- и z-компоненты электрического поля и продифференцируете, то получите иско­мую дивергенцию. Часто при этом испытывают такое чувство, как будто произошло что-то некрасивое — словно, расписав вектор покомпонентно, потерпели неудачу; все время кажется, будто все действия надо проделывать только с векторными опе­раторами Ñ. Но часто от них нет никакого проку. Когда вы впер­вые сталкиваетесь с какой-то новой задачей, то, как правило, полезно расписать все в компонентах, чтобы удостовериться, что вы правильно представляете себе, что происходит. Нет ничего некрасивого в том, что в уравнения подставляются числа, и нет ничего неприличного в том, чтобы подставлять производные на место причудливых символов. Наоборот, в этом-то и проявляется ваша мудрость. Конечно, в специальном журнале статья будет выглядеть гораздо приятнее (да и понят­нее), если все записано в векторном виде. Но там надо эконо­мить еще и место.

§ 4. Диполъный потенциал как градиент

Мы хотели бы теперь отметить любопытное свойство формулы диполя (6.13). Потенциал можно записать также в виде

(6.16)

Действительно, вычислив градиент 1/r, вы получите

и (6.16) совпадет с (6.13).

Фиг. 6.5. Потенциал в точке Р от точечного заряда, поднятого на Dz над началом координат, равен потенциалу в точке Р' (на Dz ниже Р) того же заряда, но помещенного вначале координат.

Как мы догадались об этом? Мы просто вспомнили, что e_r/r² уже появлялось в формуле для поля точечного заряда и что поле — это градиент потенциала, изменяющегося как 1/r.

Существует и физическая причина того, что дипольный по­тенциал может быть записан в форме (6.16). Пусть в начало коор­динат помещен точечный заряд q. Потенциал в точке Р(х, у, z) равен

(Множитель 1/4pe₀ опустим, а в конце мы его можем снова вста­вить.) Если заряд +q мы сдвинем на расстояние Dz, то потен­циал в точке Р чуть изменится, скажем на Dj₊. На сколько же именно? Как раз на столько, на сколько изменился бы потен­циал, если б заряд оставили в покое, а Р сместили на столько же вниз (фиг. 6.5). Иначе говоря,

где Dz означает то же, что и d/2. Беря j₀=q/r, мы получаем для потенциала положительного заряда

(6.17)

Повторяя те же рассуждения с потенциалом отрицательного заряда, можно написать

(6.18)

А общий потенциал—просто сумма (6.17) и (6.18):

(6.19)

При других расположениях диполя смещение положи­тельного заряда можно изобразить вектором Dг₊, а уравне­ние (6.17) представить в виде

где Dr впоследствии надо будет заменить на d/2. Завершая доказательство так, как это было сделано выше, мы приве­дем уравнение (6.19) к виду

Это то же уравнение, что и (6.16). Надо только заменить qd на р и вставить потерянный по дороге множитель 1/4pe₀. Взглянув на это уравнение по-иному, видим, что дипольный потенциал (6.13) можно толковать как

(6.20)

где Ф₀=1/4pe₀r — потенциал единичного точечного заряда.

Хотя потенциал данного распределения зарядов всегда мо­жет быть найден при помощи интегрирования, иногда можно сберечь время, применив какой-нибудь хитроумный прием. Например, на помощь часто приходит принцип наложения. Если нам дано распределение зарядов, которое можно соста­вить из двух распределений с уже известными потенциалами, то искомый потенциал легко получить, просто сложив уже из­вестные между собой. Наш вывод формулы (6.20) — один из примеров применения этого приема.

А вот и другой. Пусть имеется сферическая поверхность, на которой поверхностный заряд распределен пропорционально косинусу полярного угла. Интегрировать такое распределение— задача, откровенно говоря, не из приятных. Но как ни странно, на помощь приходит принцип наложения. Представьте себе шар с однородной объемной плотностью положительных зарядов и другой шар с такой же однородной объемной плотностью заря­дов, но противоположного знака. Первоначально они вложены друг в друга, образуя нейтральный, т. е. незаряженный шар. Если затем положительный шар чуть сместить по отношению к отрицательному, то нутро незаряженного шара так и останется незаряженным, но на одной стороне возникнет небольшой поло­жительный заряд, а на противоположной — такой же отрица­тельный (фиг. 6.6). И если относительное смещение двух шаров мало, то эти заряды эквивалентны существованию поверхност­ного заряда (на сферической поверхности) с плотностью, про­порциональной косинусу полярного угла.

Когда же нам понадобится потенциал этого распределения, то брать интегралы не нужно. Мы знаем, что потенциал каждого заряженного шара —- в точках вне его— совпадает с потенциа­лом точечного заряда. А два смещенных шара — все равно, что два точечных заряда; значит, искомый потенциал и есть как раз потенциал диполя.

Фиг. 6,6. Две равномерно заряженные сферы, вложенные друг в друга и слегка смещенные, эквивалентны неоднородному распределению

поверхностного заряда.

Таким путем можно показать, что распределение зарядов на сфере радиуса а с поверхностной плотностью

создает снаружи сферы такое же поле, как и диполь с моментом

Можно также показать, что внутри сферы поле постоянно и равно

Если q — угол с положительной осью z, то электрическое поле внутри сферы направлено по отрицательной оси z. Рассмотрен­ный нами пример отнюдь не досужая выдумка составителя за­дач; он нам встретится еще в теории диэлектриков.

§ 5. Дипольное приближение для произвольного распределения

Столь же интересно и не менее важно поле диполя, возни­кающее при других обстоятельствах. Пусть у нас есть тело со сложным распределением заряда, скажем, как у молекулы воды (см. фиг. 6.2), а нас интересует только поле вдали от него. Мы покажем, что можно получить сравнительно простое выраже­ние для полей, пригодное для расстояний, много больших, чем размеры тела.

Мы можем смотреть на это тело, как на скопление точеч­ных зарядов q_i в некоторой ограниченной области (фиг. 6.7). (Позже, если понадобится, мы q_i заменим на pdV.) Пускай заряд q_i удален от начала координат, выбранного где-то внутри груп­пы зарядов, на расстояние d_i . Чему равен потенциал в точке Р, расположенной где-то на отлете, на расстоянии R, много боль­шем, чем самое большое из d_i,? Потенциал всего нашего скопле­ния выражается формулой

(6.21)

где r_i — расстояние от Р до заряда q_i (длина вектора R-d_i). Если расстояние от зарядов до Р (до точки наблюдения) чрез­вычайно велико, то каждое из r_i можно принять за R. Каждый член в сумме станет равным q_i/R, и 1IR можно будет вынести из-под знака суммы. Получится простой результат

(6.22)

где Q — суммарный заряд тела. Таким образом, мы убеди­лись, что из точек, достаточно удаленных от скопления зарядов, оно кажется просто точечным зарядом. Этот результат в общем не очень удивителен.

Но что, если положительных и отрицательных зарядов в группе окажется поровну? Суммарный заряд Q тогда будет равен нулю. Это не такой уж редкий случай; мы знаем, что большинство тел нейтрально. Нейтральна молекула воды, но заряды в ней размещаются отнюдь не в одной точке, так что, приблизившись вплотную, мы должны будем заметить какие-то признаки того, что заряды разделены. Для потенциала произвольного рас­пределения зарядов в нейтральном теле мы нуждаемся в при­ближении, лучшем, чем даваемое формулой (6.22). Уравнение (6.21) по-прежнему годится, но полагать r_i=R больше нельзя. Для r_i нужно выражение поточнее. В хорошем приближении r_i можно считать отличающимся от R (если точка Р сильно уда­лена) на проекцию вектора d на вектор R (см. фиг. 6.7, но вы должны только представлять себе, что Р намного дальше, чем показано). Иными словами, если e_r — единичный вектор в нап­равлении R, то за следующее приближение к r_i нужно принять

(6.23)

Но нам ведь нужно не r_i, а 1/r_i; оно в нашем приближении (с учетом d_i<<R) равно

(6.24)

Подставив это в (6.21), мы увидим, что потенциал равен

(6.25)

Многоточие указывает члены высшего порядка по d/R, ко­торыми мы пренебрегли. Как и те члены, которые мы выписали, это последующие члены разложения 1/r_i в ряд Тэйлора в ок­рестности 1/R по степеням d_i/R,

Первый член в (6.25) мы уже получили; в нейтральных телах он пропадает. Второй член, как и у диполя, зависит от 1/R². Действительно, если мы определим

(6.26)

как величину, описывающую распределения зарядов, то вто­рой член потенциала (6.25) обратится в

(6.27)

т. е. как раз в дипольный потенциал. Величина р называется дипольным моментом распределения. Это обобщение нашего прежнего определения; оно сводится к нему в частном случае точечных зарядов.

В итоге мы выяснили, что достаточно далеко от любого набора зарядов потенциал оказывается дипольным, лишь бы этот набор был в целом нейтральным. Он убывает, как 1/R², и меняется, как cos 0, а величина его зависит от дипольного момента распределения зарядов. Именно по этой причине поля диполей и важны; сами же по себе пары точечных зарядов встре­чаются крайне редко.

У молекулы воды, например, дипольный момент довольно велик. Электрическое поле, создаваемое этим моментом, ответ­ственно за некоторые важные свойства воды. А у многих моле­кул, скажем у СO₂, дипольный момент исчезает благодаря их симметрии. Для таких молекул разложение нужно проводить еще точнее, до следующих членов потенциала, убывающих как 1/R³ и называемых квадрупольным потенциалом. Эти случаи мы рассмотрим позже.

§ 6. Поля заряженных проводников

Мы покончим на этом с примерами таких физических задач, в которых распределение зарядов известно с самого начала. Такие задачи решаются без особых затруднений, в худшем слу­чае требуя нескольких интегрирований. Теперь мы обратимся

к совершенно новому типу задач — определению полей вблизи заряженных проводников.

Представим себе, что какие-то заряды, произвольные по ве­личине Q, помещены на проводнике. Теперь уже мы не можем точно сказать, где они расположатся. Они как-то растекутся по поверхности. Как же узнать, как они на ней распределятся? Распределиться они должны так, чтобы потенциал вдоль всей поверхности был одним и тем же. Если бы поверхность не была эквипотенциальной, то внутри проводника существовало бы электрическое поле и заряды вынуждены были бы двигаться до тех пор, пока поле не исчезло бы. Общую задачу такого рода можно было бы решать так. Предположим, что распределение зарядов такое-то, и рассчитаем потенциал. Если он оказывается на поверхности повсюду одинаковым, то задача решена. Если же поверхность не эквипотенциальна, то значит, мы сделали непра­вильное предположение о распределении зарядов; сделаем но­вое предположение и постараемся, чтобы оно было удачнее! Так может продолжаться без конца, разве что вы здорово набье­те руку на таких пробах.

Вопрос о том, как догадываться о распределениях, матема­тически труден. Конечно, у природы есть время решать его; заряды притягиваются и отталкиваются до тех пор, пока не уравновесятся взаимно. А когда мы пробуем решить задачу, то каждая проба занимает так много времени, что этот метод оказывается очень громоздким. Когда имеется произвольный сложный набор проводников и зарядов, задача весьма услож­няется, и в общем случае не может быть решена без специально разработанных численных методов. Такие численные расчеты в наши дни выполняются на счетных машинах, которые могут все посчитать за нас, если мы им объясним, как это сделать.

С другой стороны, имеется множество мелких практических случаев, в которых, к нашему удовольствию, удается добиться решения каким-то прямым методом, не составляя программы для машины. На наше счастье, во многих случаях с помощью того или иного фокуса можно выжать ответ из природы.

Первый такой фокус, который мы хотим вам показать, со­стоит в использовании уже известных решений задач с фиксированным расположением зарядов.

§ 7. Метод изображений

Мы определили поле двух точечных зарядов. На фиг. 6.8 показаны некоторые линии поля и эквипотенциальные поверх­ности, полученные из расчетов, приведенных в гл. 5. Рассмот­рим теперь эквипотенциальную поверхность А. Предположим, что мы изогнули тонкий лист металла так, что он в точности

Фиг. 6.8. Линии поля и эквипо­тенциальные поверхности двух точечных зарядов.

накладывается на эту поверх­ность. Если его действитель­но наложить и установить на нем правильное значение потенциала, то никто не будет даже знать, что он там лежит, потому что ничего от его появле­ния не изменилось.

А теперь взгляните внимательнее! На самом-то деле мы ре­шили задачу уже с новым условием: поверхность изогнутого проводника с заданным потенциалом помещена близ точечного заряда. Если наш металлический лист, уложенный на экви­потенциальную поверхность, замыкается сам на себя (или тянется очень далеко), то получается картина, рассмотренная в Гл. 5, § 10, когда пространство делится на две области: одна внутри, другая снаружи замкнутой проводящей поверхности. Там мы пришли к выводу, что поля в этих двух областях совершенно не зависят друг от друга. Так что независимо от того, каково поле внутри замкнутого проводника, сна­ружи поле всегда одно и то же. Можно даже заполнить всю сердцевину проводника проводящим материалом. Вы­ходит, нам удалось найти поле при конфигурации проводников и зарядов, изображенной на фиг. 6.9. В пространстве вне проводника поле как раз такое, как у двух точечных зарядов (см. фиг. 6.8). Внутри проводника оно нуль. И, кроме того, электрическое поле, как и следовало ожидать, у самой поверх­ности проводника нормально к ней.

Итак, мы можем рассчитать поля на фиг. 6.9, вычисляя поле, созданное зарядом q и воображаемым точечным зарядом —q, помещенным в подходящем месте. А точечный заряд, ко­торый мы представили себе существующим за проводящей по­верхностью, так и называется зарядом-изображением.

В книгах можно найти длинные перечни решений задачи электростатики для гиперболических поверхностей и других сложных штук. Вас могло бы удивить, как это удалось рассчи­тать поля близ поверхностей столь ужасной формы. Но они были рассчитаны задом наперед! Кто-то решил простую задачу

Фиг. 6.9. Поле вне проводника, изогнутого вдоль эквипотенци­альной поверхности А на пре­дыдущем рисунке.

с фиксированными зарядами. А затем обнаружил, что появля­ются некоторые эквипотенциальные поверхности новой формы, ну и написал работу, в которой указал, что поля снаружи про­водника такой формы могут быть изображены так-то и так-то.

§ 8. Точечный заряд у проводящей плоскости

В качестве простейшего применения этого метода используем плоскую эквипотенциальную поверхность В (см. фиг. 6.8). Она поможет нам решить задачу о заряде вблизи проводящей плоскости. Для этого зачеркнем просто левую часть фигуры. Линии поля нашего решения показаны на фиг. 6.10. Заметьте, что плоскость обладает нулевым потенциалом, потому что она находится как раз на полпути между зарядами. Мы решили за­дачу о положительном заряде вблизи заземленной проводящей плоскости.

Так мы узнали суммарное поле, но что можно сказать о том, каковы те реальные заряды, которые создали его? Кроме нашего положительного точечного заряда, ими являются какие-то отри­цательные заряды, наведенные на проводящей плоскости и при­тянутые положительным зарядом (с каких-то далеких расстоя­ний). Но теперь пусть вам захотелось узнать (то ли для техни­ческих целей, то ли просто из любопытства), как распределены эти отрицательные заряды по поверхности. Поверхностную плотность заряда вы сможете узнать, использовав результат, полученный в гл. 5, § 6 при помощи теоремы Гаусса. Нормаль­ная составляющая электрического поля возле самого провод­ника равна плотности поверхностного заряда а, деленной на e₀. Мы можем узнать плотность заряда в каждой точке поверхности, отправляясь назад от нормальной составляющей электриче­ского поля на поверхности. А ее мы знаем, потому что вообще нам известно поле в любой точке.

Фиг. 6.10. Поле заряда, помещенного близ плоской проводящей поверхности, найденное методом изображений.

Рассмотрим точку поверхности на расстоянии r от той точки, которая расположена прямо против положительного заряда (см. фиг. 6.10). Электрическое поле в этой точке нор­мально к поверхности и направлено внутрь нее. Составляющая поля положительного точечного заряда, нормальная к поверх­ности, равна

(6.28)

К ней мы должны добавить электрическое поле, созданное отри­цательным зеркальным зарядом. Это удвоит нормальную со­ставляющую (и уничтожит все прочие), так что плотность за­ряда 0 в произвольной точке поверхности будет равна

(6.29)

Проинтегрировав а по всей поверхности, мы сможем прове­рить наши расчеты. Мы должны получить весь наведенный заряд, т. е. -q.

Еще один вопрос: действует ли на точечный заряд сила? Да, потому что наведенные на плоскости отрицательные заряды должны его притягивать. А раз мы знаем, каковы эти поверх­ностные заряды [по формуле (6.29)], то можем с помощью интег­рирования подсчитать силу, действующую на наш положитель­ный заряд. Но мы ведь знаем также, что сила, действующая на него, в точности такая, какой она была бы, если бы вместо плоскости был один только отрицательный зеркальный заряд, потому что поля поблизости от них в обоих случаях одинаковы. Точечный заряд тем самым испытывает силу притяжения к пло­скости, равную

(6.30)

Мы определили эту силу очень легко, без интегрирования по отрицательным зарядам.

§ 9. Точечный заряд у проводящей сферы

А какие еще поверхности, кроме плоскости, имеют простое решение? Самая простая из них — сфера. Попробуем определить поля вокруг металлической сферы с точечным зарядом q вблизи нее (фиг. 6.11). Придется поискать простую физическую задачу, для которой сфера есть эквипотенциальная поверхность. Если мы просмотрим те задачи, которые уже решены, то увидим, что у поля двух неравных точечных зарядов одна из эквипотен­циальных поверхностей как раз и есть сфера. Отметим себе это! Если мы как следует подберем положение заряда-изображения и нужную его величину, может быть, тогда мы и сможем подо­гнать эквипотенциальную поверхность к нашей сфере.

Фиг. 6.11. Точечный заряд q наводит на за­земленной проводящей сфере заряды, которые создают поле, такое же, как у заряда-изображе­ния, помещенного в ука­занной точке.

Это и впрямь может быть сделано, если действовать по следующему рецепту.

Положим, что вы хотите, чтобы эквипотенциальная поверх­ность была сферой радиуса а с центром, отстоящим от заряда q на расстояние b. Поместите изображение заряда величины q'=-q(a/b) на радиусе, проходящем через заряд на расстоянии a²/b от центра. Потенциал сферы пусть будет нуль.

Математически причина состоит в том, что сфера есть гео­метрическое место точек, отношение расстояний которых от двух данных точек постоянно. Как следует из фиг. 6.11, потен­циал в точке Р от зарядов q и q' пропорционален сумме

и будет равен нулю во всех точках, для которых

Если мы помещаем q' на расстоянии а²!b от центра, то отноше­ние r₂/r₁ равно постоянной величине a/b. Тогда если

(6.31)

то сфера станет эквипотенциалью. Потенциал ее на самом деле будет равен нулю.

А что, если нам понадобится сфера с ненулевым потенциалом? Ведь он равен нулю только тогда, когда ее суммарный заряд слу­чайно окажется равным q'! Конечно, если ее заземлить, то наведенные на ней заряды окажутся в точности такими, как на­до. Ну, а если она заизолирована и мы не снабдили ее никаким зарядом? Или снабдили ее зарядом Q¹q'? Или она находится под напряжением, не равным нулю? Такие вопросы разрешаются сходу. Всегда ведь можно добавить в центр сферы точечный заряд q". По принципу наложения сфера всегда останется эк­випотенциальной, а изменится только величина потенциала. Если у нас, скажем, есть проводящая сфера, предваритель­но разряженная и изолированная от всего, и мы поднесли к ней положительный заряд q, то суммарный заряд сферы останется равным нулю. Решение можно найти, взяв тот же, что и прежде, заряд-изображение q' и вдобавок к нему заряд в центре сферы, такой, что

(6.32)

Поля повсюду вне сферы будут получаться наложением полей от q, q' и q". Задача решена.

Теперь ясно, что между сферой и точечным зарядом q долж­на существовать сила притяжения. Она не пропадает, даже если сфера нейтральна, на ней нет никакого заряда. Откуда же берется притяжение? Когда вы подносите к проводящей сфере положительный заряд, то он притягивает отрицательные за­ряды на ближний конец сферы, положительные же оставляет на дальнем. А притяжение отрицательными зарядами пере­вешивает отталкивание положительными; в итоге остается при­тяжение. Силу его можно прикинуть, подсчитав силу, действую­щую на q в поле, созданном q' и q". Суммарная сила равна силе притяжения между зарядами q и q' = -(a/b)q на расстоянии b-(а²/b) плюс сила отталкивания q и заряда q" = +(a/b)q на расстоянии b.

Если вы в детстве любили разглядывать журнал, на облож­ке которого был показан мальчик, разглядывающий журнал, на обложке которого показан мальчик, разглядывающий жур­нал, на обложке которого..., то вас заинтересует и следующая задача. Две одинаковые сферы, одна с зарядом +Q, а другая с зарядом -Q, расположены на некотором расстоянии друг от друга. Какова сила притяжения между ними? Задача решает­ся при помощи бесконечного количества изображений. Первое приближает каждую сферу зарядом в ее центре. Эти заряды создают свои изображения на другой сфере. У изображений в свою очередь есть свои изображения и т. д., и т. д., и т. д. Решение здесь — все равно что картинка на обложке. Схо­дится оно очень быстро.

§ 10. Конденсаторы; параллельные пластины

Теперь обратимся к другому роду задач, связанных с про­водниками. Рассмотрим две широкие металлические пластины, параллельные между собой и разделенные узким (по сравнению с их размерами) промежутком. Предположим, что пластины наэлектризованы равными, но противоположными зарядами.

Фиг. 6.12. Плоский конденсатор.

Заряды одной пластины будут притягивать к себе заряды дру­гой и потом равномерно распределятся на внутренней поверх­ности пластин. Пусть поверхностная плотность зарядов на пластинах будет +s и -s соответственно (фиг. 6.12). Из гл. 5 мы знаем, что поле между пластинами равно s/e₀, а поле снаружи пластин равно нулю. Пластины обладают неравными потен­циалами j₁ и j₂. Их разности V удобно дать особое имя, ее часто называют «напряжением»

[некоторые обозначают буквой V потенциал, мы же его обозна­чили буквой j].

Разность потенциалов V — это работа (на единицу заряда), требуемая для переноса небольшого заряда с одной пластины на другую, так что

(6.33)

где ±Q — суммарный заряд каждой пластины, А — ее пло­щадь, d — щель между пластинами.

Мы видим, что напряжение пропорционально заряду. Эта пропорциональность между V и Q соблюдается для любых двух проводников в пространстве, если на одном из них имеется плюс-заряд, а на другом равный ему минус-заряд. Разность потенциалов между ними, т. е. напряжение, оказывается про­порциональной заряду. (Мы предполагаем, что вокруг нет ни­каких других зарядов.)

Почему возникает эта пропорциональность? Просто из-за принципа наложения. Пусть нам известно решение для одной совокупности зарядов, а потом мы наложим на него другое такое же решение. Заряды удвоятся, поля удвоятся, работа пе­реноса заряда от точки к точке тоже удвоится. По этой причине разность потенциалов двух точек пропорциональна заряду. В частности, разность потенциалов двух проводников пропор­циональна их зарядам. Эту пропорциональность когда-то решили записывать иначе. И стали писать

Q=CV,

где С — постоянное число. Этот коэффициент пропорциональ­ности назвали емкостью, а систему двух проводников — конденсатором. Для нашего конденсатора из параллельных пластин

(параллельные обкладки). (6.34)

Эта формула неточна, потому что поле в противоречии с на­шим предположением на самом деле не всюду однородно. Поле не кончается сразу на ребрах пластин, а похоже скорее на то, что изображено на фиг. 6.13. Суммарный заряд тоже равен не sА, как мы предположили; существует маленькая поправ­ка на краевой эффект. Чтобы знать, какова она, надо точнее рас­считать поле и посмотреть, что происходит на краях. Это очень сложная математическая задача, однако ее можно решить при помощи техники, о которой мы, впрочем, говорить здесь не бу­дем. Расчеты показывают, что плотность зарядов возле края пластин слегка возрастает. Это значит, что емкость пластин чуть выше, чем мы думали. [Хорошее приближение для емкости можно получить, если в уравнении (6.34) принять за А площадь, которую имели бы пластины, если б их расширили на ³/₈ расстояния между ними.]

Мы говорили пока только о емкости двух проводников. Иногда люди говорят о емкости предмета самого по себе. Так, говорят, что емкость сферы радиусом а есть 4pe₀а. При этом подразумевается, что вторым полюсом является сфера беско­нечного радиуса, т. е. что если на сфере помещен заряд

+ Q, то противоположным зарядом -Q обладает бесконечно боль­шая сфера. Можно говорить также о емкостях и тогда, когда проводников три или больше трех, но обсуждение этого во­проса мы отложим до лучших времен.

Пусть нам необходимо иметь конденсатор очень большой емкости. Большую емкость можно получить, взяв очень большую

площадь и очень малый промежуток. Можно про­ложить алюминиевые лен­ты провощенной бумагой и смотать их в трубку. (Поместив ее в пластмас­совую упаковку, мы полу­чим типичный радиоконденсатор.)

Фиг. 6.13. Электрическое поле у краев двух параллельных пластин.

Зачем они нужны? Они пригодны для того, чтобы накапливать заряд. Если бы мы захотели, например, собрать заряд на каком-то шаре, то его потенциал быстро подско­чил бы, а вскоре так поднялся бы, что заряды стали бы стекать в воздух, и от шара посыпались бы искры. Но если тот же заряд поместить внутрь конденсатора большой емкости, то напряжение близ конденсатора будет очень малым.

Во многих электронных схемах полезно иметь устройство, способное поглощать или выделять большие количества зарядов, заметно не изменяя потенциал. Вот конденсатор (или «емкость»)— как раз такое устройство. Он имеет множество применений и в электронных приборах и в счетных машинах. Там он исполь­зуется для получения определенного изменения в напряжении в ответ на то или иное изменение заряда. С подобным приме­нением мы уже познакомились в вып. 2, гл. 23, когда описыва­ли свойства резонансных контуров.

Из определения С мы получаем, что единица емкости есть кулон/вольт. Эту единицу называют также фарадой (ф). А вгля­девшись в уравнение (6.34), мы видим, что e₀ можно выразить в фарадах/метр (ф/м); эта единица обычно и применяется.

Типичные емкости конденсаторов лежат в интервале от 1 мик­ромикрофарады (мкмкф) [или, что тоже самое, 1 пикофарады (1 пф)] до миллифарад. Небольшие конденсаторы на несколько пикофарад используются в высокочастотных контурах наст­ройки, а емкости порядка сотен или тысяч микрофарад мы на­ходим в силовых фильтрах. Пара обкладок с площадью 1 см² с промежутком 1 мм имеет емкость примерно 1 пф.

§ 11. Пробой при высоком напряжении

Сейчас мы качественным образом рассмотрим некоторые ха­рактеристики полей вокруг проводников. Зарядим электри­чеством проводник, но на сей раз не сферический, а такой, у ко­торого есть острие или ребро (например, в форме, изображен­ной на фиг. 6.14). Тогда поле в этом месте окажется намного сильнее, чем в других местах. Причина в общих чертах состоит в том, что заряды стремятся как можно шире растечься по по­верхности проводника, а кончик острия всегда отстоит дальше всего от остальной поверхности. Поэтому часть зарядов на пла­стине течет к острию. Относительно малое количество заряда на нем может создать большую поверхностную плотность, а высокая плотность
означает сильное поле близ проводника в этом месте.

Фиг. 6.14. Электрическое по­ле у острого края проводника очень велико.

Вообще в тех местах проводника, в которых радиус кривизны меньше, поле оказывается сильнее. Чтобы убедиться в этом, рас­смотрим комбинацию из большой и маленькой сфер, соединен­ных проводом, как показано на фиг. 6.15. Сам провод не будет сильно влиять на внешние поля; его дело — уравнять потен­циалы сфер. Возле какого шара поле окажется более напряжен­ным? Если радиус левого шара а, а заряд Q, то его потенциал примерно равен

(Конечно, наличие одного шара скажется на распределении за­рядов на другом, так что на самом деле ни на одном из них заря­ды не будут распределены симметрично. Но если нас интересует лишь примерная величина поля, то можно пользоваться форму­лой для потенциала сферического заряда.) Если меньший шар радиусом b обладает зарядом q, то его потенциал примерно ра­вен

Но j₁=j₂, так что

С другой стороны, поле у поверхности [см. уравнение (5.8)] пропорционально поверхностной плотности заряда, которая в свою очередь пропорциональна суммарному заряду, делен­ному на квадрат радиуса. Получается, что

(6.35)

Фиг. 6.15. Поле остроконеч­ного предмета можно прибли­женно считать полем двух сфер одинакового потенциала.

Значит, у поверхности меньшей сферы поле больше. Поля об­ратно пропорциональны радиусам.

Этот результат с технической точки зрения очень важен, потому что в воздухе возникает пробой, если поле чересчур велико. Какой-нибудь свободный заряд в воздухе (электрон или ион) ускоряется этим полем, и если оно очень сильное, то за­ряд может набрать до столкновения с атомом такую скорость, что вышибет из атома новый электрон. В итоге появляется все больше и больше ионов. Их движение и составляет искру, или разряд. Если вам требуется зарядить тело до высокого потен­циала так, чтобы оно не разрядилось в воздух, вы должны быть уверены, что поверхность тела гладкая, что на нем нет мест, где поле чересчур велико.

§ 12. Ионный микроскоп

Сверхвысокое электрическое поле, окружающее всякий острый выступ заряженного проводника, получило интересное применение в одном приборе. Работа ионного микроскопа обус­ловлена мощными полями, возникающими вокруг металличе­ского острия. Устроен этот прибор так. Очень тонкая игла, диаметр кончика которой не более 1000 Å, помещена в центре стеклянной сферы, из которой выкачан воздух (фиг. 6.16). Внутренняя поверхность сферы покрыта тонким проводящим слоем флуоресцирующего вещества, и между иглой и флуоре­сцирующим покрытием создана очень высокая разность потенциалов.

Посмотрим сперва, что будет, если игла по отношению к флу­оресцирующему экрану заряжена отрицательно. Линии поля у кончика иглы сконцентрированы очень сильно. Электрическое поле может достигать 40•10⁶ в на 1 см. В таких сильных полях электроны отрываются от поверхности иглы и ускоряются на участке от иглы до экрана за счет разности потенциалов. Достигнув экрана, они вызывают в этом месте свечение (в точности, как на экране телевизионной трубки).

Фиг. 6.16. Ионный мик­роскоп.

Электроны, пришедшие в данную точку флуоресцирующей поверхности,— это, в очень хорошем приближении, те самые электроны, которые покинули другой конец радиальной линии поля, потому что электроны движутся вдоль линий поля, сое­диняющих кончик иглы с поверхностью сферы. Так что на поверхности мы видим своего рода изображение кончика иглы. А точнее, мы видим картину испускателъной способности по­верхности иглы, т. е. легкости, с которой электроны могут оставить поверхность металлического острия. Если сила разре­шения достаточно высока, то можно рассчитывать разрешить положения отдельных атомов на кончике иглы. Но с электро­нами такого разрешения достичь нельзя по следующим причи­нам. Во-первых, возникает квантовомеханическая дифракция электронных волн, и изображение затуманится. Во-вторых, в результате внутреннего движения в металле электроны имеют небольшую поперечную начальную скорость в момент вырывания из иглы и эта случайная поперечная составляющая ско­рости приведет к размазыванию изображения. В общей слож­ности эти эффекты ограничивают разрешимость деталей вели­чиной порядка 25А.

Если, однако, мы переменим знак напряжения и впустим в колбу немного гелия, то детали разрешены будут лучше. Когда атом гелия сталкивается с кончиком острия, мощное поле срывает с атома электрон, и атом заряжается положительно.

Фие. 6.17. Изображение, полученное ионным микро­скопом.

Затем ион гелия ускоряется вдоль силовой линии, пока не по­падет в экран. Поскольку ион гелия несравненно тяжелее элект­рона, то и квантовомеханические длины волн у него намного меньше. А если к тому же температура не очень высока, то и влияние тепловых скоростей также значительно слабее, чем у электрона. Изображение размазывается меньше и получается куда более резкое изображение кончика иглы. С микроскопом, работающим на принципе ионной эмиссии, удалось добиться увеличения вплоть до 2 000 000 раз, т. е. в десять раз лучше, чем на лучших электронных микроскопах.

На фиг. 6.17 показано, что удалось получить на таком мик­роскопе, применив вольфрамовую иглу. Центры атомов вольфра­ма ионизуют атомы гелия чуть иначе, чем промежутки между атомами вольфрама. Расположение пятен на флуоресцирующем экране демонстрирует расстановку отдельных атомов на воль­фрамовом острие. Почему пятна имеют вид колец, можно по­нять, если представить себе большой ящик, набитый шарами, уложенными в прямоугольную сетку и образующими таким обра­зом кубическую решетку. Эти шары — как бы атомы в металле. Если вы из этого ящика вырежете примерно сферическую часть, то увидите картину колец, характерную для атомной структуры. Ионный микроскоп впервые снабдил человечество средством видеть атомы. Замечательное достижение, да еще полученное с таким простым прибором.

*См. статью Мюллера [Е. W. Mueller, The field-ion microscope, Advances in Electronics and Electron Physics, 13, 83 (I960)].